§-多元函数的概念-副本.docVIP

第八章 多元函数微分学 在自然科学和工程技术中，遇到的函数往往不只有一个自变量，通常它依赖于两个甚至更多个自变量.对于自变量多于一个的函数称为多元函数.一元函数微分学中的许多概念、方法与理论都可以推广到多元函数，同时也会产生许多新问题.由二元函数推广到二元以上的函数时不会发生什么困难.因此，本章主要以二元函数为研究对象来讨论和分析. 8.1 多元函数的概念、极限与连续 8.1.1多元函数的概念 定义8.1.1设是平面上的一个非空点集，为三个变量．若对于中任意一点，按照某一对应法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称是的二元函数，记为．其中称为自变量，称为因变量；集合称为函数的定义域；变量取值的集合称为该函数的值域． 二元函数在点处所取得的函数值记为或． 类似地,可以定义三元函数以及三元以上的函数．一般地，可以定义个变量的函数． 二元及二元以上的函数统称为多元函数． 例8.1.1已知，则. 例8.1.2设求. 解:将第一变量用，第二变量用来代，有 =. 8.1.2二元函数的定义域 求二元函数定义域的方法与一元函数相类似：在数学上，对用解析式表达的二元函数，使该二元函数的表达式有意义的点的集合称为二元函数的定义域；实际问题中的二元函数，则要根据自变量的具体意义及问题本身对自变量取值的限定范围来确定其定义域． 例8.1.3求下列函数的定义域，并用图形表示. (1) ；（2）. 解:(1)要使函数的解析式有意义，必须满足，所以函数的定义域是，即以原点为圆心、半径为的圆内及圆周上一切点构成的集合，如图8-1所示. (2)要使函数的解析式有意义，必须满足，所以函数的定义域是(如图8-2所示). 二元函数的定义域，在数学上常表示为的不等式或不等式组；在几何上则常常是一条或几条线及一些点来界定平面的一部分． 设X是一平面点集,如果对于X内的任意两点,都可用含于X内的一条折线相连结,则称点集X是连通的,称连通的点集为区域.例如,图8-1、图8-2所示的都是区域.通常区域是由一条或几条曲线所围成，围成区域的曲线称为区域的边界；包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域；区域内的点称为内点，边???上的点称为边界点.如果区域能含于一个以原点为中心，半径适当大的圆内，则称该区域是有界区域，否则，称为无界区域． 8.1.3二元函数的图形 取定空间直角坐标系后，从二元函数的定义域中任取一点，把所对应的函数值作为竖坐标，就在空间得到了一个对应点，当点遍取上所有的点，对应点的全体形成空间的一张曲面，曲面称为函数的图形，而也就是曲面的方程.曲面在平面上的投影即为函数的定义域的图形，如图8-3所示． 例如，的一次函数的图形是一个平面；函数的图象是球心在原点、半径为的上半球面；函数的图象是上半椭球面． 8.1.4二元函数的极限 定义8.1.2设函数在点的某空心邻域内有定义，如果当点以任意方式趋向于点时，总趋向于一个确定的常数，那么就称是二元函数当时的极限，记为 或. 在定义中应注意点趋向于点的方式是任意的，即趋向于常数与的方式无关. 与一元函数相类似，二元函数的极限也有四则运算法则，同样地，一元函数求极限的方法也可以推广到求二元函数极限. 例8.1.4求下列极限： (1) ；(2) . 解：(1) 原式===． (2) 令，有. 例8.1.5证明：函数当时极限不存在． 证明:当沿直线趋于时，有 ==, 显然，当沿不同斜率的直线(即不同的)趋于时，趋于不同的值，根据二元函数极限的定义，有当时极限不存在. 8.1.5二元函数的连续 定义8.1.3设函数在点的某邻域内有定义，如果，则称函数在处连续，称为函数的连续点．如果在区域内的每都一点连续，则称它在区域内连续． 显然，如果函数在处连续，则必须同时满足三个条件： 1.在点的某邻域内有定义； 2.极限要存在； 3.. 若以上三条中有一条不满足，点就称为间断点，称函数在点处间断. 例如,函数， 当时极限不存在，所以在点处间断. 又例如,函数， 因为在抛物线上的每一点都无定义，所以抛物线上的每一点都是函数的间断点．也称抛物线 是函数的间断线. 相应于闭区间上连续函数的性质，在闭区域上连续的函数也有如下性质. 性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域上连续的函数必有最大值和最小值。 性质2（介值定理）在有界闭区域上连续的函数必取得介于函数最大值和最小值之间的任何值. 习题8-1 1.设函数，试求: (1)；(2)；(3). 2.确定并画出下列函数的定义域D： (1)；(2)z=. （3）； （4）； （5）； （6）. 3.求下列极限： (1)；(2)． 4.求下列函数的间断点或间断曲线： (1) ；(2)； (3) ；(4) . 8.2偏导数 前面已经学习了一元函数的导数