§-某些函数的特性.docVIP

§0-5 某些函数的特性 由于函数的多样性，不同的函数会呈现出不同的变化状态。 ⑴有界函数 若函数的值域包含在某个有限区间内，即 () 则称它为有界函数，并称为它的下界，为它的上界。一个函数可能只有下界 ，也可能只有上界 ，例如图0-11和图0-12中表示的二次函数(抛物线)。 不是有界函数的函数就称它为无界函数。它可能是无下界，或无上界，或既无下界又无上界（图0-10，双曲线）。 图0-16 x y O ① x y O ② ⑵单调函数 设函数定义在区间上。 若对于内任意两点和， 当时，必有 则称为增函数[ 图0-16①]；而 当时，必有 则称为不减函数[ 图0-16②]。 图0-17 x y O ① O ② x y 反之，若对于内任意两点与， 当时，必有 则称为减函数[ 图0-17①]；而 当时，必有 则称为不增函数[ 图0-17②]。 增函数或减函数，不减函数或不增函数， 统称为单调函数。一个函数，就整个定义域来说，它可能不是单调的，但对于定义域内的部分区间来说，它可能是单调的。这样的区间称为它的单调区间。 ⑶可逆函数 设函数的定义域为,值域为. 若对内任意两点与， 当时，必有 则称为一对一函数。若是一对一函数，则对每一个有唯一的使[因为时，有]。这就是说，已经有了一个确定的“对应”(或规则)，记成,使.它的定义域是而值域是即.这样的函数称为函数的逆函数或反函数。 y O x 图0-18 增函数(减函数)是一对一的，所以它是可逆函数，而且逆函数也是增函数(减函数)。在同一个坐标平面上，函数与逆函数的图形自然 是同一个图形，只是函数的定义域在轴上，而反函数 的定义域在轴上。若把逆函数的定义域也放在轴上， 则的图形与的图形关于直线是对称的(图0-18)。 ⑷奇函数和偶函数 设函数定义在对称区间或 上。若满足 则称为奇函数。例如函数等。奇函数的图形关于原点对称（中心对称）[图0-19①]。若满足 y x O y x O 则称为偶函数。例如等。偶函数的图形关于轴对称[图0-19②]。 ② ① 图0-19 ⑸周期函数 设函数定义在区间内。若有正数，使对任意，都有 （图0-20）， 则称为周期函数，称为它的周期。而这样的不是唯一的，有时把这样的的最小者(若存在的话)称为它的最小周期(或简称周期)。例如，上面指出的狄利克雷函数和小数部分都是周期函数。任何正有理数都是狄利克雷函数的周期(但它没有最小周期)，而任何正整数都是函数的周期(它有最小周期)。 图0-20 2T T O -T -2T x 研究周期函数的性质时，只需在任何一个长度为一个周期的闭区间（如[]）上来讨论就够了。 习题·选解 1.若是奇函数，证明 证 奇函数是定义在某对称区间上且满足的函数.于是， ，即 因此， 2.设是定义在区间上的偶函数.若在上是增大的，证明它在上是减小的。 证 设，则。因为在上是增大的，所以；而是偶函数，所以又有，即在上是减小的。 3.设是定义在区间内的任意函数。证明：  = 1 \* GB2 ⑴是偶函数； = 2 \* GB2 ⑵是奇函数。 证  = 1 \* GB2 ⑴因为，所以是偶函数；  = 2 \* GB2 ⑵因为，所以是奇函数。 4.若与都是奇函数或都是偶函数，则 ，，， 的奇偶性如何？ 解 与的奇偶性不改变；与在两种情形下都是偶函数。 5.验证：任何正有理数都是狄利克雷函数的周期。 证 若为有理数，则仍为有理数；若为无理数，则仍为无理数。因此， 0 x 1 -1 2 3 -2 -3 第6题图 6.画出函数的图形。 注意，它是以为周期的周期函数。 7.证明：是有界函数，当且仅当有正常数，使 证 取，则 且 即或 8.证明：函数的反函数仍是。 证 ，即。