“直线平面间的位置关系”教材分析.docVIP

“直线平面间的位置关系”教材分析 一、内容组织 1．内容简介 本章以“平行”与“垂直”为主线，依次讨论直线与平面、平面与平面的位置关系，主要内容包括直线与平面平行的判定与性质定理、平面与平面平行的判定与性质定理；直线与平面垂直的判定与性质定理、平面与平面垂直的判定与性质定理，知识结构如下图． 立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，空间图形中，点、直线与平面是最基本的几何元素，直线与平面、平面与平面的“平行”与“垂直”关系是立体几何的基础知识，它们是学生建立空间观念、提高空间想象能力和几何直观能力，发展合情推理、演绎推理与论证能力的重要载体，也是体验公理化思想的重要来源． 本章首先通过“直观感知”和“操作确认”的方法，概括出直线和平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，然后再对归纳出的直线与平面平行的性质定理、平面与平面平行的性质定理进行“思辨论证”；接着，又用“直观感知”和“操作确认”的方法，概括出直线和平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理，然后再对归纳出的直线与平面垂直的性质定理、平面与平面垂直的性质定理进行“思辨论证”，同时引入直线与平面所成的角、二面角等概念，从“度量计算”的角度刻画空间图形的位置关系． 具体来说，本章通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理． 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．此定理将直线与平面平行的判定，转化为直线与直线平行的证明，用符号表示，就是 ． 平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．此定理将平面与平面平行的判定，转化为直线与平面平行的证明，用符号表示，就是 ． 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．此定理将直线与平面垂直的判定，转化为直线与直线垂直的证明，用符号表示，就是 ． 平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．此定理将平面与平面垂直的判定，转化为直线与平面垂直的证明，用符号表示，就是 ． 同时，本章通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并用演绎逻辑的方法加以证明． 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．此定理由直线与平面平行，得到直线与直线平行的结论，用符号表示，就是 ． 平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行．此定理由平面与平面平行，得到直线与直线平行的结论，用符号表示，就是 ． 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．此定理由直线与平面垂直，得到直线与直线平行的结论，用符号表示，就是 ． 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．此定理由平面与平面垂直，得到直线与平面垂直的结论，用符号表示，就是 ． 这些定理的作用都集中在“平行”与“垂直”的位置关系的判断上，直线、平面的位置关系本身有明确的“定义”，比如直线与平面平行是通过直线与平面没有公共点加以定义，定义很直观，但用定义判断直线、平面的这些位置关系是一个无限过程，不具有可操作性，所以需要寻找可操作的判定方法．“判定定理” 就是判断“平行”和“垂直”的位置关系的一种操作性强的判定方法；“性质定理”与“判定定理”通过“升维”和“降维”、 化归与转化关联在一起．比如直线与平面平行的性质定理得到直线与直线平行的结论，也可看做是直线与直线平行的一种判定方法，直线与平面垂直的性质定理也是直线与直线平行的一种判定方法．其关系可以用下图展示，图中的“实线”关联表示教材给出了相应的定理，在推理论证等问题求解中，可以直接应用，图中的“虚线”关联表示教材没有给出相应定理，但可以通过“实线”通道实现关联，当然，在求解问题中，不能作为理论依据直接使用． 2．来龙去脉 直线平面间的位置关系的知识基础有三：一是初中学过的直线间的位置关系．“平面几何”中的直线就是立体几何中平面的类比物，平面间的位置关系可以类比“平面几何”中的直线间位置关系得到；二是高一刚学过的空间几何体的结构．长方体的结构，是认识直线平面间的位置关系的模型；三是高一刚学过的确定平面直线间基本位置关系的四个公理（公理1、公理2、公理3、公理4）．公理1规定了平面与其元素直线的基本位置关系——直线在平面内．公理2、3分别规定了平面的两种基本位置关系——重合与相交．公理4规定了空间内两直线的平行．这四个公理是直线平面间位置关系的论证基础．直线平面间位置关系是在对空间几何体的整体观察和整体认识的基础上，按照“几何模型——图形语言——文字语言——符号语言”的认知顺序展开的． 直线平面间的位置关系的方