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第九讲　指数与指数函数 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．下列结论中正确的个数是(　　) ①当a0时，(a2)＝a3；②＝|a|；③函数y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1. A．0　　　　　B．1 C．2 D．3 解析：根据指数幂的运算性质对每个结论逐一进行判断．①中，当a0时，(a2)0，a30，所以(a2)≠a3；②中，当n为奇数时，＝a；③中，函数的定义域应为∪；④中，由已知可得2a＋b＝lg5＋lg2＝lg10＝1，所以只有④正确，选B. 答案：B 2．()4·()4(a≥0)的化简结果是(　　) A．a16 B．a8 C．a4 D．a2 解析：原式＝()4·()4＝a4，选C. 答案：C 3．若函数y＝(a2－5a＋5)·ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或a＝4 B．a＝1 C．a＝4 D．a0，且a≠1 解析：因为“一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数”，所以函数y＝(a2－5a＋5)·ax是指数函数的充要条件为解得a＝4，故选C. 答案：C 评析：解答指数函数概念问题时要抓住指数函数解析式的特征：(1)指数里面只有x，且次数为1，不能为x2，等；(2)指数式ax的系数为1，但要注意有些函数表面上看不具有指数函数解析式的形式，但可以经过运算转化为指数函数的标准形式． 4．在平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x图象关于(　　) A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝x对称 解析：y＝2x左移一个单位得y＝2x＋1，y＝2－x右移一个单位得y＝21－x，而y＝2x与y＝2－x关于y轴对称． ∴f(x)与g(x)关于y轴对称．答案：C 5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：由f(1)＝得a2＝，∴a＝(a＝－舍去)，即f(x)＝|2x－4|. 由于y＝|2x－4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B. 答案：B 6．已知函数f(x)＝x－log2x，实数a、b、c满足f(a)f(b)f(c)0(0abc)，若实数x0是方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是(　　) A．x0a B．x0b C．x0c D．x0c 解析：如图所示，方程f(x)＝0的解即为 函数y＝x与y＝log2x的图象交点的横坐标x0. 由实数x0是方程f(x)＝0的一个解，若x0cba0，则f(a)0，f(b)0，f(c)0， 与已知f(a)f(b)f(c)0矛盾，所以，x0c不可能成立，故选D. 答案：D 二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．已知不论a为何正实数，y＝ax＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________． 解析：因为指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)．而函数y＝ax＋1－2的图象可由y＝ax(a0，a≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数y＝ax＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)． 答案：(－1，－1) 8．函数y＝()x－3x在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案： 9．定义：区间[x1，x2](x1x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________． 解析：[a，b]的长度取得最大值时[a，b]＝[－1,1]，区间[a，b]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1. 答案：1 10．设f(x)＝，g(x)＝，计算f(1)g(3)＋g(1)f(3)－g(4)＝________，f(3)g(2)＋g(3)f(2)－g(5)＝________，并由此概括出关于函数f(x)和g(x)的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是________． 答案：0　0　f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝0 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．已知函数f(x)＝b·ax(其中