、定积分及其应用.docVIP

第19课时 定积分及其应用 一.知识梳理 1.定积分的概念：设函数在区间上有定义，将区间等分成分小区间，每个小区间长度为( ),在每个小区间上取一点，依次为，作和 .如果无限趋近于0(亦即趋向于)时，无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为 ，其中 称为被积函数， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限， 2.微积分基本定理：对于被积函数，如果，则= . 3.定积分的运算性质：⑴= ； ⑵ ；⑶ . 4.定积分的几何意义：在区间上曲线与轴所围成图形面积的 (即轴上方的面积减去轴下方的面积)； ⑴当在区间上大于0时，表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义. ⑵当在区间上小于0时，表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的 . ⑶当在区间上有正有负时，表示介于直线之间轴之上、之下相应的曲边梯形的面积的 . 5.定积分在物理中的应用：⑴匀变速运动的路程公式，作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即 . ⑵变力做功公式，一物体在变力(单位：)的作用下作直线运动，如果物体沿着与相同的方向从移动到(单位：)，则力所作的功为 . 二．基础训练 1. . 2.已知质点的速度，则从到质点所经过的路程是 . 3.已知的力作用于静止的弹簧，弹簧伸长1cm，则将静止的弹簧拉长6cm，弹力所做的功为 焦. 4. . 5.已知在区间上且由直线及曲线所围成的图形面积为，则 . 6.由直线及曲线所围成的图形面积为，则用定积分表示，则 为 . 三.典型例题 1.求定积分 ⑴； ⑵； ⑶； ⑷. 2.求曲线及直线所围封闭区域的面积． 3.求抛物线与直线围成的平面图形的面积. 4.如图，过点A(6，4)作曲线的切线l． ⑴求切线l的方程； ⑵求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S． 四.课后作业 1.若，则 . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7.已知为偶函数且，则 . 8.求曲线与所围成图形的面积为 . 9.一物体以的速度运动，在前30s内的平均速度为 . 10.求函数在区间上的积分. 11.已知抛物线，过原点的直线平分由抛物线与轴所围成的封闭图形的面积，求的方程. 12.已知方程为常数。 ⑴若，，求方程的解的个数的期望； ⑵若内等可能取值，求此方程有实根的概率． 【阅读材料】如图，用图“以直代曲”的方法计算直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝ax2(a＞0)围成的阴影图形的面积． 解 （1）分割——把区间[0，1]等分成n个小区间：[0，1n]，[1n，2n]，…，[i－1n，in]，…，[n－1n，nn]． （2）以直代曲——△Si≈f(in)?△x＝ain(2?1n． （3）作和——因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以以n个小矩形面积之和就是曲边三角形面积S的近似值， 即S＝△S1＋△S2＋…＋△Sn＝∑ni=1△Si≈an3?16n?(n＋1)?(2n＋1)＝a6?(1＋1n)?(2＋1n)． （4）逼近——当分割无限变细，即△x无限趋近于0（亦即n趋向于＋∞）时，a6?(1＋1n)?(2＋1n)无限趋近于S，而当n趋向于＋∞时，a6?(1＋1n)?(2＋1n)无限趋近于a3．由此可知S＝a3．