、弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性.docVIP

5.弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性 摘　要：文章首先给出了轻质弹簧的一个性质定理，然后分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理，也具有单独的协变性，弹性势能不具有伽利略不变性，解决了关于这个问题的争论． 关键词：轻质弹簧；性质定理；伽利略不变性；力学相对性原理；机械能守恒 中图分类号：O 313.1 　　　　　　　　　　　　　 文献标识码：A 参考文献[1]- [11]都有这样一个题目： 一质量为m的小球与一劲度系数为k的轻质弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动．试问在一沿此弹簧长度方向以速度u相对于作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由．（地球的质量视为充分大，从而稳定地保持为惯性系） 由于弹簧和小球连接在一起，物理量之间存在着联系，因此可以等效认为弹性势能属于弹簧，但是本质上属于小球. 为此我们首先给出轻质弹簧的一个性质定理—— 轻质弹簧的性质定理：轻质弹簧虽然始终是两端受力而不是单端受力，但是计算轻质弹簧的形变和弹性势能时，设有两种情形：第一，将轻质弹簧的一个端点视为相对静止，此时劲度系数为k；第二，将其中点视为相对静止，则可视为两根串联的弹簧，其劲度系数是2k. 证明：1、当观察者在弹力所在直线上的分速度为0时 假设轻质弹簧所受外力为F，我们可以从两个角度认识，一方面将轻质弹簧的一个端点视为相对静止，此时劲度系数为k，形变为x,我们当初定义劲度系数k=F/x，弹性势能为kx2；换一个角度如果认为弹簧是两端受力使弹簧发生形变，此时应该视为为两个劲度系数相同的弹簧串联，根据弹簧串联的知识可以知道这时每个轻质弹簧的劲度系数为2k，弹性形变为x,整个弹簧形变还是x，弹性势能为??k(x)2???kx2也不变.所以在轻质弹簧问题中考虑两端受力与一端受力计算弹性形变和弹性势能是等效的，只不过等效劲度系数不同,但是由于整个弹簧的劲度系数不变，计算弹簧振子周期时仍然用k，这是轻质弹簧的一个性质. 2、当匀速运动（变速运动也成立，本文不再讨论）的观察者相对于轻质弹簧的固定点在弹力所在直线上的分速度不等于0时，以弹簧的伸长为例（压缩类似），当墙对于弹簧的作用力的作用点产生位移s时，小球对于弹簧的作用点的位移就减少s(因为它们是平衡力)，把这种观测效应恰好抵消. 证毕. 说明：轻质弹簧的性质定理只是说明考虑两端受力效果计算用2k,考虑一端受力效果劲度系数用k计算，这里采用等效的观点处理问题，爱因斯坦创立广义相对论时也曾经采用过等效原理.该定理不代表弹簧的劲度系数发生了变化，其实弹簧的劲度系数是伽利略不变量，下面是朱如曾研究员的证明—— 根据质量、时间和空间坐标的伽利略变换式，弹簧的无形变长度l0和伸长(x-x0)以及质点的加速度均是伽利略不变量.力学相对性原理保证牛顿第二定律适用于任何惯性系，故力也是伽利略不变量，因此弹簧拉力f 是伽利略不变量，由于伸长(x-x0)也是伽利略不变量，所以作为拉力与伸长之比的弹性系数也是伽利略不变量，但是胡克定律不具有伽利略变换的不变性. 考虑到弹簧两端受力都使弹性势能发生改变时，如果继续用劲度系数k计算弹性势能，能量显然会增大，其实无论如何分割弹簧，弹性势能应该是不变的. 弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子的大小和形状的理想化的物理模型.由于忽略了弹簧的质量，所以系统的机械能就是弹簧的弹性势能加上小球的动能.当初定义轻质弹簧的劲度系数k时，是用一端受力定义的（其实是两端受力，另一端按照固定不变定义），如果按照两端受力，劲度系数都用k 计算，形变有可能超过弹性限度.参考解答提出在运动系中弹簧在靠近墙的一端所受的力也做功，这样计算也可以，此时必须按照两个相同的弹簧串联处理，每一个的劲度系数为2k，由于整个弹簧的劲度系数不变，周期不变，结果是等效的，因此参考解答错误. 如果再单独计算墙对于弹簧做功就重复了，才出现了机械能不守恒的错误.如果考虑墙对于弹簧所做的功，显然可以测量出小车相对于墙的运动速度,这与力学相对性原理(不可能借助在惯性系中所做的力学实验来确定该参考系做匀速直线运动的速度)是不符合的. 解：在地面参照系上观察时，以弹簧未被压缩和拉伸时的小球所处位置（平衡位置）为坐标原点，以水平向右的直线ox为x轴，建立直线坐标系如图1所示． 当t?0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动，则小球的位移为： x?Acos(ωt)，其中ω2?k/m，k?mω2． 设小球的速度为v，加速度为a，受到的力为f，动能为Ek(t)，势能为Ep(t)，机械能为E(t)．则有： v ????ωAsin(ωt)，a ????ω2Acos(ωt)，f?ma??