《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[].docVIP

?复变函数与积分变换?期末试题（A） 吉林大学南岭校区2011年12月 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．的幅角是（ ）； 2.的主值是（ ）； 3. ，（ ）； 4．是 的（ ）极点； 5． ，（ ）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数的导函数为（ ）； （A） ； （B）； （C）； （D）. 2．C是正向圆周，如果函数（ ），则． （A） ； （B）； （C）； （D）. 3．如果级数在点收敛，则级数在 （A）点条件收敛 ； （B）点绝对收敛； （C）点绝对收敛； （D）点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A）如果函数在点可导，则在点一定解析； (B) 如果在C所围成的区域内解析，则 （C）如果，则函数在C所围成的区域内一定解析； （D）函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) (B) (C) (D) 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设是解析函数，求 （2）．计算其中C是正向圆周：； （3）计算 （4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数； （1），（2），（3） 五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题 六、（本题6分）求的傅立叶变换，并由此证明： ?复变函数与积分变换?期末试题（A）答案及评分标准 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．的幅角是（）； 2.的主值是（ ）； 3. ，（ 0 ）， 4．是 的（ 一级 ）极点； 5． ，（-1 ）； 二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数的导函数为（B ）； （A） ； （B）； （C）； （D）. 2．C是正向圆周，如果函数（ D ），则． （A） ； （B）； （C）； （D）. 3．如果级数在点收敛，则级数在（C） （A）点条件收敛 ； （B）点绝对收敛； （C）点绝对收敛； （D）点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A）如果函数在点可导，则在点一定解析； (B) 如果在C所围成的区域内解析，则 （C）如果，则函数在C所围成的区域内一定解析； （D）函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设是解析函数，求 解：因为解析，由C-R条件 ， 给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 （2）．计算其中C是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以为圆心画互不相交互不包含的小圆且位于c内 无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。 （3）． 解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理 -----（5分） ----（8分） --------（10分） （4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 解 ：（1） （2） （3） （4） （5） 备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数； （1），（2），（3） 解：（1）当 而 -------6分 （2）当 = -------10分 （3）当 ------14分 每步可以酌情给分。 五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题： 解：对的Laplace变换记做，依据Laplace变换性质有 …（5分） 整理得 …（7分）