§2.4卷积积分的性质论述.ppt

§2.4 卷积积分的性质 卷积代数运算 与冲激函数或阶跃函数的卷积 微分积分性质 卷积的时移特性 相关函数 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 一、卷积代数运算 1．交换律 2．分配律 3．结合律 系统并联运算 系统级联运算 证明 二、与冲激函数或阶跃函数的卷积 1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) 证： f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0) 2. f(t)*δ’(t) = f’(t) 证： f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*ε(t) ε(t) *ε(t) = tε(t) 三、卷积的微积分性质 证：上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)] = [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 证：上式=ε(t) *[f1(t)* f2(t)] = [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t) 3. 在f1(– ∞) = 0或f2(–1)(∞) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) 例1 例2 四、卷积的时移特性 若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2) 例 求卷积是本章的重点与难点。 求解卷积的方法可归纳为： （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。 五、相关函数 相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。 相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个函数的反转。 相关函数的定义 相关与卷积的关系 相关函数的图解 1.定义 实能量有限函数f1(t)和f2(t)的互相关函数 互相关是表示两个不同函数的相似性参数。 可证明，R12(τ)=R21(–τ)。 若f1(t)= f2(t) = f(t)，则得自相关函数 显然，R(-τ)= R(τ)偶函数。 注 2. 相关与卷积的关系 R12(t)= f1(t)* f2(–t) R21(t) = f1(–t)* f2(t) 。 可见，若f1(t)和 f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。 3. 相关函数的图解 (0t12)