§8.1习题解答论述.pdf

第八章 空间解析几何 习题 8.1 （A）基础题 1．指出下列各点的位置特点． （1） ( ) ( ) (0 02 0 0 3 0 3 1, , )A , ,B , ,C , ,? ? ； （2） ． ( ) ( ) (3 05 0 3 2 0 0 3, ,A , ,B , ,C , ,? ? ) 【解】（1）在 x 轴上，在 y 轴上，在 yOz 面上； （2）在 xOz 面上，在 xOy 面上，在 z 轴上． 2．分别求点 ( )2 3 1A , ,? ? 和 ( ),cB a ,b 关于下列点、轴或面对称点的坐标． （1）各坐标平面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点． 【解】（1） ：xOy 面(2, 3, 1)A ? ? (2, 3,1)? ，yOz 面 ( 2, 3, 1)? ? ? ，xOz 面 (2 ,3, 1)? ( , , )B a b c ： xOy 面 ， yOz 面( , , )a b c? ( , , )a b c? ， xOz 面 ( , , )a b c? （2） ：x 轴 ，y 轴 ( 2(2, 3, 1)A ? ? (2,3,1) , 3,1)? ? ，z 轴 ( 2,3, 1)? ? ， ( , , )B a b c ：x 轴 ( , ，y 轴 ( ,, )a b c? ? , )a b c? ? ，z 轴 ( , , )a b c? ? ， （3） ：原点： ( 2 ；(2, 3, 1)A ? ? ,3,1)? ( , , )B a b c ： ( , , )a b c? ? ? ． 3．在第一卦限内求一点M ，使它到 , ,x y z 三坐标轴的距离分别为5 3 5 2 13, , ． 【解】设 M 点坐标为 ( , , )x y z ，则有 2 2 5y z+ = ； 2 2 3 5x z+ = ； 2 2 2 13x y+ = ，解 上面三个方程联立的方程组，因为 M 为第一象限内点，所以各坐标分量都大于 0，得 ．即 M ( ,6, 4, 3x y z= = = , )x y z 为 ． (6, 4,3) 4．点M 将两点 和 间的线段分成两部分，使其比为( )3 2 1P , , ( 2 1 4Q , ,? ) 1 3 PM MQ = ，求分点M 的坐标． 【解】设 M 点坐标为 ( , , )x y z ，则由 | | | | PM MQ 1 3 = ，得 2 2 2 2 2 2 ( 3) ( 2) ( 1) 1 ( 2 ) (1 ) (4 ) 9 x y z x y z ? + ? + ? = ? ? + ? + ? ，由于 点 M 在 P、A 两点所在的直线上，即满足 3 2 1 5 1 3 x y z t? ? ?= = = ? ，将 , ,x y z 用 t 表示，带入以上等 1 式，得 1 4 t = ? 或 1 2 ，由于点在两点之间，所以取 1 4 t = ? ，得 M 为 7 7 7( , , ) 4 4 4 ． 5．向量 AB 的终点为 ，它在坐标轴上的投影依次为(3 1 0B , ,? ) 2 3 4, ,? ，求始点 A 的坐标． 【解】设 A 点坐标为 ( , , )x y z ，据题意有3 2, 1 3, 0x y z 4? = ? ? = ? ? = ，解得 A 的坐标为 ． (1, 2, 4)? 6．已知两点 ( )1 4 2 1M , , 和 ( )2 3 0 2M , , ，求向量 1 2M M 的模、方向余弦与方向角． 【解】 2 2 2 1 2 (3 4) (0 2) (2 1) 2M M = ? + ? + ? = ；设方向角为 , ,α β γ ，则有 1 2cos , cos , cos 2 2 α β γ= ? = ? = 1 2 ； 对应角度为 , ,α β γ 为 2 3, , 3 4 3 π π πα β γ= = = ． 7．已知向量 4 2α= + ?a i j k 和 4 3 γ= + +b i j k 共线，求 ,α γ 的值． 【解】由题意，有 4 2 4 3 α γ ? = = ，解得 16 3, 3 2 α γ= = ? ． 8 ． 已 知 ， ，{3,5, 1}= ?a {2,2,3}=b {4, 1, 3}= ? ?c ， 求 向 量 和 ． 2 3 4= ? +A a b c c } m n p= + +B a b 【解】 ； 2 3 4 {16,0, 23= ? + = ?A a b c {3 2 4 ,5 2 , 3 3 }m n p m n p m n p m n p= + + = + + + ?