2013.4.17_wiki_爱因斯坦求和约定-维基百科,自由的百科全书论述.pdf

爱因斯坦求和约定 维基百科，自由的百科全书 在数学里，特别是将线性代数套用到物理时，爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）是一种标记的约定，又称为爱因斯坦标记法（Einstein notation），在处理关于坐 标的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的[1]。后来，爱因斯坦与友人 半开玩笑地说[2]：“这是数学史上的一大发现，若不信的话，可以试着返回那不使用这方法的古板日 子。” 按照爱因斯坦求和约定，当一个单独项目内有标号变量出现两次，一次是上标，一次是下标时，则必 须总和所有这单独项目的可能值。通常而言，标号的标值为1、2、3（代表维度为三的欧几里得空 间），或0、1、2、3（代表维度为四的时空或闵可夫斯基时空）。但是，标值可以有任意值域，甚至 （在某些应用案例里）无限集合。这样，在三维空间里， 的意思是 。 请特别注意，上标并不是指数，而是标记不同坐标。例如，在直角坐标系里， 、 、 分别表 示 坐标、 坐标、 坐标，而不是 一次方、 二次方、 三次方。 目录 1 简介 2 向量的表示 3 一般运算 3.1 内积 3.2 向量乘以矩阵 3.3 矩阵乘法 3.4 迹 3.5 外积 4 向量的内积 5 向量的叉积 6 向量的共变分量和反变分量 6.1 欧几里得空间 7 抽象定义 8 范例 9 参阅 10 参考文献 11 外部链接 简介 爱因斯坦标记法的基本点子是余向量与向量可以形成标量： 。 通常会将这写为求和公式形式： 。 在基底变换之下，标量保持不变。当基底改变时，一个向量的线性变换可以用矩阵来描述，而余向量 的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证，不论基底为何，伴随余向量的线性函 数（即上述总和）保持不变。由于只有总和不变，而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变，所 以，爱因斯坦提出了这标记法，重复标号表示总和，不需要用到求和符号： 采用爱因斯坦标记法，余向量都是以下标来标记，而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意 义。请不要将上标与指数混淆在一起，大多数涉及的方程式都是线性，不超过变量的一次方。在方程 式里，单独项目内的标号变量最多只会出现两次，假若多于两次，或出现任何其它例外，则都必须特 别加以说明，才不会造成含意混淆不清。 向量的表示 在线性代数里，采用爱因斯坦标记法，可以很容易的分辨向量和余向量（又称为1-形式）。向量的分 量是用上标来标明，例如， 。给予一个 维向量空间 和其任意基底 （可能不是标准正交基），那么，向量 表达为 。 余向量的分量是用下标来标明，例如， 。给予 的对偶空间 和其任意基底 （可能不是标准正交基），那么，余向量 表达为 。 采用向量的共变和反变术语，上标表示反变向量（向量）。对于基底的改变，从 改变为 ，反变 向量会变换为 ； 其中， 是改变基底后的向量的分量， 是改变基底后的坐标， 是原先的坐标， 下标表示共变向量（余向量）。对于基底的改变，从 改变为 ，共变向量会会变换为 。 一般运算 矩阵 的第 横排， 第 竖排的元素，以前标记为 ；现在改标记为 。各种