1递归与分治法论述.ppt

1 递归与分治法 学习要点: 递归 分治策略 范例 （1）汉诺塔问题； （2） 插入排序； （3）最大值和最小值问题； （4） 归并排序和快速排序； （5） 线性时间选择； （6） 二分有哪些信誉好的足球投注网站技术； 思考题：循环赛日程表。 1.1 递归 递归算法解题通常有三个步骤： （1）分析问题、寻找递归：找出递归方程式。 （2）设置边界、控制递归：找出递归终止条件，即 算法易解的最小规模问题。 （3）设计函数、确定参数。 1.2 分治法的思想 将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。 分治法求解的几个步骤： （1）分解 将原问题分解为若干个相互独立、与原问题形式相 同的子问题； （2）求解 若子问题容易被解决则直接解，否则再继续分解为 更小的子问题，直到容易解决； （3）合并 将已求解的各个子问题的解，逐步合并以得到原问 题的解。 有时问题分解后，不必求解所有的子问题，也就不必作第三步的操作。 比如折半查找，在判别出问题的解在某一个子问题后，其它的子问题就不必求解 了，问题的解就是最后（最小）的子问题的解。分治法的这类应用，称为“减治法”。 分治法的适用条件 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题； 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。 例 1.3.1 汉诺塔问题 满足分治法的适用条件 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题； 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。 算法和分析见例1.1.5 例1.3.3 找最大值和最小值 如果要在含有n个不同元素的集合中同时找出集合中的最大和最小元素，最简单的方法是将元素逐个进行比较。 maxmin(type A[ ],int n) { max= A[1]； min = A[1]; for （i =1；i=n；i++） { if （max A[i]） max = A[i]； if （min A[i]） min = A[i]； } } 该算法的时间复杂度取决于元素比较次数。如果要同时找出最大和最小的元素，则算法在最好、平均和最坏情况下均需要2（n-1）次元素比较。 改进1 ： maxmin(type A[ ],int n) { max= A[1]； min =A[1]; for （i =1；i=n；i++） if （max A[i]） max = A[i]； else if （min A[i]） min = A[i]； } 算法中需要n-1次比较得到max。最好的情况是尽快使由小到大取出的，不需要进行与min的比较，共进行n-1次比较。最坏的情况是尽快使由大到小取出的，需要再经过n-1次比较得到min，共进行2n-2次比较。至于在平均情况下，a[i]将有一半的时间比max大，因此平均比较次数是3(n-1)/2。 改进2 ： （1）将数据等分为两组（两组数据可能差1），目的是分别选取其中的最大和最小值。 （2）递归分解直到每组元素的个数2，可简单地找到最大和最小值。 （3）回溯时合并子问题的解，在两个子问题的解中大者取大，小者取小，即合并为当前问题的解。 maxmin(分治法）.doc 例1.3.4 归并排序 基本思想：将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分别对2个子集合进行排序，最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合。 void MergeSort(Type a[], int left, int right) { if (leftright) {//至少有2个元素 i=(left+right)/2; //取中点 mergeSort(a, left, i); mer