哈工大高等传热学对流换热-第5章-2论述.pdf

5-2 层流自然对流边界层对流换热的相似解法 一、相似解的存在性 1960年，美籍华人 K.T.Yang（杨）对竖壁和圆柱的常物性流体 层流自然对流的相似解存在性进行了研究，发现 8种情况下存在相似 解（竖壁 6种，圆柱 2种）。 (1) wT ＝const的竖壁稳态自然对流 (2) nwT T Ax∞? = 或 ( )mwq A B x= + ? 或 wq const= 的竖壁稳态自然对流 (3) xwT T Ae∞? = 的竖壁稳态自然对流； (4) 1 2( 2 )wT T Ax B ? ∞? = ? τ 的竖壁非稳态自然对流 (5) 1 2( )wT T Ax B C ? ∞? = ? τ 的竖壁非稳态自然对流 (6) 离入口较远处壁温均匀，但 ( )wT f τ= 的竖壁非稳态自然对流 (7) wT T Ax B∞? = + ， wq Ax B= + ， wq ＝c的竖直圆柱壁面稳态自然 对流 (8) 离入口较远处壁温均匀，但 ( )wT f τ= 的竖直圆柱壁面非稳态自 然对流。 二、自然对流边界层相似解法 1．相似变量的确定 （无量纲化→量级分析） 原始方程： 2 2 2 2 0 ( ) u v x y u u uu v g T T x y y T T Tu v a x y y β ν∞ ?? ? + =?? ?? ? ? ? ?? + = ? ? +? ? ? ?? ? ? ? ?? + = ? ? ??? （5.2.1） 边界条件： 0, 0, , 0, 0, 0, wy u v T T y u T T x u T T ∞ ∞ = = = =? ? = ∞ = =? ? = = =? 无量纲化： 0 0 , , ,x y u vX Y U V L L u u = = = = w T T T T ∞ ∞ ? Θ = ? 其中，L为特征尺度， 0u 为参考速度。有： 2 2 2 00 2 2 0 0 ( ) U V X Y U U gL T T UU V X Y u Lu Y aU V X Y u L Y ∞ ?? ? + =? ? ?? ? ? ? ? ? ?? + = +? ? ? ? ?? ? ?Θ ?Θ ? Θ? + = ? ? ? ??? β ν 将动量方程中浮力项变形： 2 2 0 0 ( ) ( )wg T T L g T T L u u β β∞ ∞? ? ? ? ? ?= ?Θ 显然， 2 0 ( )wg L T T u β ∞? ? ? 为无量纲量，而 0u 为参考速度，不妨令 0u ( )wg L T Tβ ∞= ? ? ? （5.2.2） 其含义：表示浮升力 ( )wg T Tβ ∞? 经过 L长度做功，而使流体产生的流 动速度。 如此定义 0u 后，动量方程中的粘性力项变形为： 0 2 2 2 2 0 1 Reu U U u L Y Y ν ? ? = ? ? ? ， 30 2 1 ( )wu L g L T T ν β ν ∞ = ? ? ? ? 3 2 ( )wg L T Tβ ν ∞? ? ? 反映了浮升力与粘性力相对大小，称为Grashof数： 32 ( )wg L T TGr β ν ∞? ? ?= （5.2.3） 显然， 0 2ReuGr = ，即在自然对流中，Re数被Gr数代替了。强制 对流平壁边界层的 5Re 10cr ，而自然对流平壁边界层的层流、湍流 分界， 1010Gr ≈ 。 经过上述变换，无量纲化边界层微分方程组为： 2 2 2 2 1 1 1 Pr 0 U U UU V X Y YGr U V X Y YGr U V X Y ? ? ? ? + = Θ+? ? ? ?? ? ?Θ ?Θ ? Θ? + =? ? ? ?? ?? ? + =?? ??? （5.2.4） 通过对该无量纲方程组进行数量级分析，找到相似变量函数关系。 (1) ( )T X L U O Y V O Θ ～ ～ 、 、 、 、 、 、δ δ δ 由动量方程可得出： 21 ( )O Gr ～ δ ，即 1 4 ( )xGr O～ δ ，而 ( )Ox ～δ δ ，所以： 1 4x xGrx δ ?～ （5.2.5） 由能量方程可得出： -1 2 1 4Pr ( )Gr O?? ～ δ ，而在热边界层内 ( )x T O x ～ δ δ ，所以： -1 2 1 4PrxT Gr x ??～ δ （5.2.6） 则 -