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§7－2 数量积与向量积 一、两向量的数量积 实例 一物体在常力F 作用下沿直线从点M 移动 1 到点M 2，以s 表示位移，则力F 所作的功为 W =| F || s | cosθ (其中θ 为F 与s 的夹角) 启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 向量a与b 的数量积为a ? b a ? b =| a || b | cosθ (其中θ 为a与b 的夹角) b θ a ? b =| a || b | cosθ a | b | cosθ = Pr jab, 向量 b在向量 a方向上的投影 向量 在向量 方向上的投影 | a | cosθ = Pr jba, a b ∴a ? b =| b | Pr jba = | a | Pr jab. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. 数量积也称为“点积”、“内积”. 关于数量积的说明： (1) a ? a =| a |2 . 证 ∵θ = 0, ∴a ? a =| a || a | cosθ =| a |2 . (2) a ? b = 0 ?? a⊥b. 证 (?) ∵a ? b = 0, | a |≠ 0, | b |≠ 0, π ∴cosθ = 0, θ = , ∴a⊥b. 2 π (?) ∵a⊥b, ∴θ = , ∴cosθ = 0, 2 a ? b =| a || b | cosθ = 0. 数量积符合下列运算规律： （1）交换律：a ? b = b ? a; （2）分配律：(a + b)? c = a ? c + b ? c; （3）若λ 为数 (λa)? b = a ? (λb) = λ(a ? b), 若、为数λ μ ：(λa)? (μb) = λμ(a ? b). 证明 （1）、（3）由定义可证 余下证明（2） 仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可 仿此证明 (a + b)? c =| c | Pr jc (a + b) a + b b =| c | (Pr jca + Pr jcb) a =| c | Pr jca + | c | Pr jcb = a ? c + b ? c c 设 a = axi + a y j + azk, b = bxi + by j + bzk a ? b = (axi + a y j + azk) ? (bxi + by j + b