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Fourier 变换在波动方程的应用 p 柳青青 0 概要……………………………………………………………………………………2 1 Fourier变换的定义……………………………………………………………………2 2 Fourier变换的性质……………………………………………………………………2 3 Fourier变换在波动方程的应用………………………………………………………2 3.1 利用 Fourier 变换求波动方程 Cauchy 问题的通解…………………………3 3.2 特殊情形…………………………………………………………………………4 3.2.1 d=1 的情形…………………………………………………………………4 3.2.2 d=3 的情形…………………………………………………………………6 4 参考文献………………………………………………………………………………7 5 注释………………………………………………………………………………… 10 0概要 Fourier 分析的发展最初是建立在对弦振动问题和热传导问题的研究上。这两类问题最 后归结为两类偏微分方程：波动方程和热传导方程。 在这篇小论文中，我们主要是用 Fourier 变换的方法给出波动方程 Cauchy 问题的解， 并证明限制于低维情形(d=1 与 d=3)，确实就是课本中给出的 d’Alembert 公式和 Kirchhoff 公式。 1Fourier 变换的定义[1] 首先我们限制下文所涉及的函数都来自一个特定的函数空间 ，以保证函数及其 Fourier 变换以及它们的各阶偏导均具有我们所需的良好性质。我们称该函数空间为 Schwartz 空间，记为 。[2] ( d? ? ) )( d? ? ( ) : ( ) : sup ( ) ( ) , , d d d x R f C x f x x ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ,，其中? ? ) 为多重指标。 这样，我们在 上定义 Fourier 变换： ( d? ? 2? ( ) ( ) d ix R f f x e dx? ?? ?? ? ， (1) d? ?? 下文中，我们用箭头表示 Fourier 变换，即 ( ) ( )F x G ?? 表示 ?( ) ( )G F? ?? 2Fourier 变换的性质 我们不加证明的给出后文会用到的 Fourier 变换的一些重要性质：[3] 若 ，则 ( df ?? ? ) ) (2.1)(反演公式) ，且? ( df ?? ? 2?( ) ( ) d ix R f x f e ? ??? ? dx。 (2.2)(平移性质) 2?( ) ( ) ,i h df x h f e h R? ??? ? ? ? 2 ?( ) ( ),ixh df x e f h h R? ?? ? ? ? ? (2.3)(伸缩性质) 1?( ) ( ), 0df x f? ? ? ? ?? ?? ? ? (2.4)(求导性质) ?( ) ( ) (2 ) ( )f x i f x ? ?? ? ?? ? ? ?( 2 ) ( ) ( ) ( )ix f x f? ?? ? ? ? ? ? ? - - 2 - - (2.5)(卷积性质) ? ?( ) ( ) ( )f g x f g? ?? ? 3Fourier 变换在波动方程的应用 3.1利用 Fourier 变换求波动方程 Cauchy 问题的通解 首先说明，对于一般性的 d-维波动方程 2 2 2 uc u t ? ? ? ? ，我们总可以设 c=1。(事实上， 对 t 作变换 t ，我们即可得到ct?? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1u uu c c t c t t 2u? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ) 现在我们开始考虑 d-维波动方程的 Cauchy 问题： 2 2 ( ,0) ( ) ( ,0) ( )t uu t u x f x u x g x ? ? ? ?? ??? ?? ? ?? ?? 其中， , ( )df g?? ? (2) (在解方程之前，我们注意到，波动方程的参数 不必和热传导方程一样限制于 。 事实上，我们得到的解对于 均是成立的。从方程的物理意义上来看，波动方程的过程 是可逆的，但热传导过程描述