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多元向量值函数的导数与微分

2007年8月南京航空航天大学理学院数学系 1 多元向量值函数的导数与微分一元向量值函数的导数与微分二元向量值函数的导数与微分微分运算法则 2007年8月南京航空航天大学理学院数学系 2 : n mf A? → 对于一般的n元向量值函数： 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( , , , ) ( ) ( , , , ) ( ) ( ) ( , , , ) n n m m n f x f x x x f x f x x x f x f x f x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 lim ( ) 1, , , lim ( )i ix x x xf x a i m f x a→ →= ? ? = = 2007年8月南京航空航天大学理学院数学系 3 一、一元向量值函数的导数与微分 1 2 ( ) ( ) ( ) , ( )m f x f x f x x f x ? ? ? ? ? ?= ∈ ? ? ? ? ? ? : mf A? → 0 0 0 0 0 ( ) ( ) D ( ) ( ) lim x f x x f xf x f x xΔ → + Δ ? = = Δ 定义一元向量值函数 f 的导数为：显然 f 可导当且仅当其每个分量可导，并且： ( )0 0 1 0 0D ( ) ( ) ( ), , ( ) T mf x f x f x f x= = 2007年8月南京航空航天大学理学院数学系 4 类似可以定义 f 的二阶导数以及n阶导数： ( )2 0 0 1 0 0D ( ) ( ) ( ), , ( ) T mf x f x f x f x= = ( ) 0 1 0D ( ) D D ( ) | n n x xf x f x ? == : mf A? → 可微定理： :if f A? →的任意分量可微 ( )0 0 1 0 0( ) ( ) ( ) , , ( ) T mdf x f x x f x x f x x= Δ = Δ Δ 2007年8月南京航空航天大学理学院数学系 5 二、二元向量值函数的导数与微分 2: mf A? → 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) , , ( , )m f x x f x x f x x x x f x x ? ? ? ? ? ?= ∈ ? ? ? ? ? ? 定义： 1 0 1 01 2 1 2 1 0 2 0 2 0 1 22 0 1 20 0 0 0 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m m f x f xdx dx x x df x f x f xdx dxdf x x xdf x df x f x f xdx dx x x ? ?? ?+? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? +? ?? ? ? ?= = ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?+? ?? ?? ? 2007年8月南京航空航天大学理学院数学系 6 利用矩阵乘法： 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 2 1 2 1 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 22 0 1 2 1 20 0 0 0 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m m f x f x f x f xdx dx x x x x df x f x f x f x f xdx dxdf x x x x xdf x df x f x f xdx dx x x ? ? ? ?? ?+? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? +? ?? ? ? ? ? ?= = =? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?+? ?? ?? ? 1 2 0 0 1 2 ( ) ( ) m m dx dx f x f x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? 于是，将矩阵 1 0 1 0 1 2 2 0 2 0 1 2 0 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) D ( ) ( ) ( ) m m f x f x x x f x f x x x f x f x f x x x ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? =? ? ? ? ?