数学ⅢC公式集n.pdfVIP

数学Ⅲ?C 公式集 ＜関数と極限＞ ① 分数関数 bax bcxy + + = のとき割り算の商と余りを利用して qx rpy - += と変形できる。このときグラフは、漸近線が、 pyqx == , の直角双曲線になる。 ② 無理関数 )(xfky = のグラフは、 )(22 xfky = のグラフで、 0k のとき x軸より上半分。 0k のとき x軸より下半分。 特に、 baxy += や baxy +-= は完璧にしておくこと。 ③ 合成関数 yxf ?: が )(xfy = yxg ?: が )(xgy = ))(()(: xgfxgxgf fg ??????? この関数は、 ))(()( xgfxgf =? ④ 逆関数 )(xfy = が１：１のとき )()( 1 yfxxfy -=?= 逆関数を作るには、定義域に注意して )(xfy = を xについて解き )(1 xfx -= とし、 ここで xと yを入れ替えて )(1 xfy -= とする。 ⑤ 数列の極限 収束： a= ￥? nn alim （極限値がa ） 発散： +￥= ￥? nn alim （ ￥+ に発散） -￥= ￥? nn alim （ ￥- に発散） na が振動 （極限値なし） ⑥ 知っているべき数列の極限 (a) 0k のとき +￥= ￥? k n nlim （ ￥+ に発散） (b) 0k のとき 0lim = ￥? k n n （極限値０） (c) n n r ￥? lim について、 1-￡r のとき振動 11 - r のとき n n r ￥? lim ＝0 1=r のとき n n r ￥? lim ＝１ 1r のとき +￥= ￥? n n rlim ⑦ 数列の極限に関する公式 a= ￥? nn alim 、 b= ￥? nn blim のとき （ ￥?n のとき、 ba ?? nn ba , とも書く） (a) nn ba T ba 3 (b) ba ±=± ￥? )(lim nnn ba 、 ab=￥? nnn balim 、 b a = ￥? n n n b a lim （ 01b ）が成立する。 ⑧ 無限等比級数 ×××++×××+++= - ￥ = -? 12 1 1 n k k arararaar 収束?発散について数列の極限と混同しないように注意せよ 収束するのは、 11 - r のときのみで、その和は r a -1 13r のとき 0a ならば ￥+ に発散で 0a ならば ￥- に発散 1-￡r のときは振動（発散）する。 ＜関数の極限＞ a= ? )(lim xf ax または ax? のとき a?)(xf と表記する。 ① a= ? )(lim xf ax 、 b= ? )(lim xg ax のとき以下が成立する acxcf ax = ? )(lim （cは定数） ba ±=± ? )}()({lim xgxf ax (複号同順) ab= ? )}()({lim xgxf ax b a = ? )( )(lim xg xf ax （ 01b ） ②右方極限、左方極限について a= +? )(lim 0 xf ax 、 b= -? )(lim 0 xf ax （極限の存在） 特に、 ba = のとき、 a= ? )(lim xf ax と書くことができる （つまり、右方極限と左方極限の一致する場合である） ③不定形の極限の対処法 a. 0 0 型のときは、分数式ならば約分、無理式は有理化 b. ￥ ￥ 型のときは、分母分子を分母の最高次数で割る c. ￥-￥ 型のときは、無理式は有理化、整式は最高次数の項 でくくり出す d. ￥×0 は、a.とｃ.と同様 注）右方極限、左方極限は、 )(xfy = のグラフの概形を調べる ときにも利用される。（漸近線の存在） ＜三角関数?指数関数?対数関数の極限＞ ① 1sinlim 0 = ? x x x （ xは、ラジアン角） ② 718281.211lim @=÷ ? ? ? è ? + ±￥? e x x x （自然対数の底） ③指数関数?対数関数のグラフからも分かるように (1) 1a ときは +￥= +￥? x x alim 、 0lim = -￥? x x a +￥= +￥? xax loglim 、 -￥=+? xax loglim0 (2) 10 a のときは -