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科学基礎実験Ａ：誤差の講義 2008.11.27?13:30‐ 対象：検査技術学専攻 担当：奈良 数値の取扱い （化学実験テキストより） どの測定にも測定装置の限界やその装置を使う 実験者の能力の限界からくるある程度の不確実 さがあり、正確さの限界と精密さの限界に分けら れる。 正確さは測定された値がどれくらい真の値または 承認された値に近いかを示すものである。 精密さ（再現性）は同じ方法で繰り返し測定を行っ たとき現れる変動の小ささを表わす。 ある値を実験誤差の範囲内で、できるだけ精密に 記述するために必要である数字を有効数字とい う。 絶対誤差と相対誤差 （化学実験テキストより） ある量x（真の値）の測定値をX、誤差をΔ X とすれば x =?X +?Δ X と書ける。 ｜ Δ X ｜を絶対誤差、｜ Δ X ／ X ｜を相対誤差という。 （相対誤差は100倍して％で表すことが多い。） いくつかの測定値から計算によって出した値の誤差は、 加減計算では絶対誤差は各成分の絶対誤差の和よ り大きくならない。乗除計算では相対誤差は各成分の 相対誤差の和より大きくならず、有効数字の桁数は各 成分の有効数字の桁数の一番少ないものの数と同じ である。 測定と有効数字 有効数字による精度の表現 ある値に誤差が明示されず、ただx＝5.86×10‐3 のように有効数字（この例では3桁）で書かれて いる場合、最後の桁は6であって5や7ではないこ とを意味しているから、四捨五入の感覚で、 5.855×10‐3 ≦ x??5.865×10‐3と解釈される。つ まり有効数字で書かれた値の絶対誤差は最後 の桁の半分（この例では0.005?×10‐3）以内であ ると解釈される。逆に自分がある値を誤差を明 示せずに書く場合には、上述の解釈が合うよう に有効数字の桁数を決めるべきである。 5.86×10‐3と5.860×10‐3は異なる。 5.860×10‐3と書けば、 5.8595×10‐3 ≦ x??5.8605×10‐3? と解釈される。 演習1．有効数字３桁の数（X)について、相対誤差 は最大何％含まれるか？ 演習2.?有効数字4桁の数について、相対誤差は 最大何％含まれるか？ 演習1 1.00 ≦ X ≦ 9.99 より 1/1.00 ≧ 1/X ≧ 1/9.99 Xの絶対誤差|ΔX|= 0.005であるから 0.005 /1.00 ≧ |ΔX /X | ≧ 0.005/9.99 0.5% ≧ |ΔX /X |×100% ≧ 0.05% 相対誤差の上限は0.5%である。 演習2 同様にして、相対誤差の上限は0.05%である。 有効数字と相対誤差の関係 (上限） 有効数字２桁 5%≧ |ΔX?/X?|×100%??≧ 0.5% 有効数字３桁 0.5%≧ |ΔX?/X?|×100%??≧ 0.05% 有効数字４桁 0.05%≧ |ΔX?/X?|×100%??≧ 0.005% 誤差の上限値は一番厳しく見積もった場合であ るから、相対誤差が1%程度であれば、有効数字 ３桁で答えるのが妥当である。 誤差のタイプ：系統誤差と絶対誤差 ①系統誤差（systematic?errors?or?determinate?errors) 原因を立ち入って分析することにより、少なく とも原理的には除去することのできる誤差 ②偶然誤差（random?errors?or?indeterminate?errors) コントロールできない原因が多数複雑にから みあって再現性を乱す誤差 ? 正確さの大小を決める、偏りを与える ? 精密さの大小を決める ばらつきを 与える 頻度グラムで見る 系統誤差と偶然誤差の違い 精密○ 正確○ 精密○ 精密× 正確× 正確○ 真の値 真の値 系統誤差 偶然誤差 頻 度 ばらつき 偏り 射的における系統誤差と偶然誤差 系統誤差 小さい 大きい 小さい 大きい 偶然誤差 小さい 小さい 大きい 大きい 射的における系統誤差と偶然誤差 的の中心（真の値）を消した場合 小さい 大きい 小さい 大きい 見ただけでは系統誤差の大小の区別はつかない。 小さい 小さい 大きい 大きい 見ただけで、偶然誤差の大小の区別がつく。 系統誤差と偶然誤差は常にはっきり 区別できるわけではない。 例 視差 測器の指示値を読むとき に、見る位置を変えると、その指 示値が異なって見える。 計測器を真正面から見る場合にだ け正しい値が読み取れるというこ とを意味する。 測定には視差に起因するわずかな 誤差が含まれ、その誤差はランダ ムなものである。→ 偶然誤差 測定者が不注意に計測器を自分の 正面でない位置に置いて、視差を 考えていなければ、すべての測定 結果には系統誤差が入ってく