代数曲面理论历史与展望.pdf

代数曲面理论：历史与展望 谈胜利 （华东师范大学） 2015年10月9日 问题： 1、为什么要研究理想？ 2、下述积分为什么不可积？ ∫ ++ w BAxx dx α 3 答案： 1、来自解多项式方程组（初等变换） 2、与下述三次曲线在复数域上的图形 有关？ C: y 2= x 3+ A x + B ? 数学分析 --- 微积分 ? 高等代数 --- 多项式方程组 ? 解析几何 --- 低次多项式解的几何 f1 (x1, x2, …, xn) = 0 f2 (x1, x2, …, xn) = 0 (*) …… fk (x1, x2, …, xn) = 0 大学数学 解方程的基本定理 ? 高斯代数基本定理: 每一个非常数多项式 f(x) 有一个复根 ? 希尔伯特零点定理 方程组 (*) 无复数解当且仅当存在多项式 g1,…,gk 使得 f1 g1 + f2 g2 + … + fk gk = 1 利用一般的线性变换 x1 → x1 + λ1 xn x2 → x2 + λ2 xn …… xn-1 → xn-1 + λn-1 xn 我们可以假设 ft(x1,x2,…,xn) 都是 xn 的 首1多项式 ft = xn m + a1 xn m-1 + … + am-1 xn + am 解方程的诺特技巧 ?代数曲线 --- C ? ? 2 : f (x, y) = 0 ?代数曲面 --- S ? ? 3 : f (x, y, z) = 0 ?代数几何 --- 多项式解的几何 f1 (x1, x2, …, xn) = 0 f2 (x1, x2, …, xn) = 0 (*) …… fk (x1, x2, …, xn) = 0 代数几何 低次的数学: 一次、二次的数学 方程： 一次方程、二次方程 几何： 直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线 数论： Pell 方程、初等数论 高次的数学: 三次以上的数学 方程： 三次方程的求解、Galois 理论 三等分角问题，同余数问题 … 几何： 椭圆曲线、代数曲线 … 数论： BSD 猜想、费尔马大定理 … 第一阶段（19世纪前） 一次二次的数学 欧几里得几何（~ 公元前 300） 总结了公元前 7 世纪至 4 世纪希腊的几何成果。 研究对象： 直线 和 圆 解析几何（17 世纪初） 笛卡儿和费尔马引进了坐标后 几何问题 代数问题 研究对象： 直线 和 圆锥曲线 射影几何（17 世纪初） 研究对象： 直线 和 二次曲线 的射影性质 第二阶段（19世纪） 代数曲线与曲面 ? 单变量代数函数论 --- 代数曲线 C ym + a1(x)y m-1 + … + am-1(x)y + am(x)= 0 将 y 看成是 x 的多值函数 y = y(x) 黎曼为代表：黎曼曲面，亏格 ? 双变量代数函数论 --- 代数曲面 S zm + a1(x,y)z m-1 + … + am(x,y) = 0 庞加莱为代表：代数拓扑 第三阶段（二十世纪） 代数曲面 ? 覆盖平面：S → ?2 , (x, y, z) → (x, y) 域扩张理论： ? ( x, y ) [ z ] 庞加莱的方法：Ft : f ( x, y, t ) = 0, t