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第四章 不定积分 §1.1 不定积分内容网络图 原函数 定义 不定积分 线性运算法则 性质 基本积分公式表 凑微积 不定积分 换元法 积分法 按公式 变量替换 分部积分法 有理函数的不定积分 按被积函数 三角函数的不定积分 简单无理函数的不定积分 §1.2 内容提要与释疑解难 定义 设在区间上有定义，若存在一个可微函数，使得对。 定理 若在区间上的一个原函数，则在区间的全体原函数为，是常数定义 若则在区间E上的全体原函数称为在区间上的不定积分，记作。 注：根据定义可知求出的的定义域至少要与的定义域一样。 基本积分表 注：从不定积分表中可看出，求出不定积分形式可以不一样，如何验证所求不定积分的正确性，只要把所求的不定积分求导看是否为被积函数即可不定积分性质 性质1 性质2 性质3 若的原函数都存在，则（i）. 注1：从性质1可知不定积分是导数的逆运算，正是利用这一性质，寻找哪个函数的导数为，则这个函数就是的一个原函数 性质2 性质2告诉我们求不定积分的一个方法，即如何把形式，实际上就是这正是微分的逆过程，从而可以利用我们所学的微分基本公式，微分的四则运算，尤其是一阶微分形式不变性，把的不定积分 §1.2 解题基本方法与技巧 一、不定积分的基本方法 1.凑微分（第一换元法） 的一个原函数，由分析过程可知 定理（凑微分）设 注给一个不定积分，要想运用，关是能否把被积表达式的形式，并且要求f(u)的原函数能求出来，在具体运用此定理时，一般不引入中间变量u，而直接写出结果，即为了熟练运用凑微分，记下列微分关系是必要的（其实就是求原函数1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. 10. 2．变量代换法 由一阶微形式的不变性知 t= 定理（变量代换法）若严格单调，可微，且，则 用变量代换求不定积分的具体步骤是 可导 ＝ 变量代换适合被积函数中含有式且不直接求出，也不能用线性运算法则或凑微分求出时，则需用变量代换，目的是为了去掉号，一般来说，当被积函数中含有 变量代换不仅适合于去号，只要通过变量代换能求出原函数都可以用3．分部积分 定理（分部积分法）若 在具体运用这个公式时，关是把被积函数表示成的形式，转化，从而转化为求不定积分分部积分适合下列情形，当的n次多项时， 1.2.. 3 .. 上面需要用次分部积分在下列情形中，的多项式或其它的表达式，当不能凑微分求出时，常常要用分部积分 4.5.. 6.. 在求不定积分时，需要基本不定积分表（还有一些重要的不定积结果），线性运算法则，凑微分，变量代换，分部积分综合运用。 重要的不定积分有 . 这些结果都要记住例1 求解法一 解法二 解法三 同理可求，这两个结果要记住注千万不忘了加C，加了C是一族原函数，不加C只是一个原函数，相差甚远。 例2 求 （a＞0）解 令原式 作出直角三角形,可知于是 原式. 同理可得这两个结果要记住注1在利用三角变换时,代换回原变量时,尽管可以三角公式,但有时很麻烦,我一般根据三角变换,画出直角三角形,求出三角形的各边长,然后根据三角函数的定义,非常方便地求出所需角t的三角函数。 注2在变量代换时，会遇到去绝对值，若绝对值中的式子，有时正，有时负，被积函数是初等函数，这时可不妨设绝对值中的式子大于零，不影响求不定积分，一般说，结果是一样的。 例3 求解 原式例4 求解 原式 例5 求, （i）当原式 （ii）当时， 原式例6 求. 解法一 原式 ==解法二 原式 = 求 解法一 当时 原式当时, 原式总之 解法二 原式解法三 令 原式 = 注从这两种解法中可看出不定积分的形式差别很大,但确实都是被积函数的原函数. 例8 求解 令于是 原式 = =例9 求解 原式 设 = == =例10 求 解法一 原式= . 解法二 令 原式 例11求解 原式 注结果不要忘了加。有的读者可能会说，两个不定积分抵消了没有，不论怎样，不定积分，结果都要加。 例12 求解 原式 例13 求 解 原式 例14 求解 例15 设