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课 题 2.3.1双曲线及其标准方程（1） 教学目的：1、掌握双曲线的定义；2、掌握双曲线的标准方程及其推导方法.；3、能根据条件确定双曲线的标准方程；4、掌握a、b、c之间的关系. 教学重点：能根据条件确定双曲线的标准方程 教学难点：掌握双曲线的标准方程及其推导方法. 教学用具：多媒体投影 教学过程 复习引入 1、复习椭圆的定义、焦点、焦距、标准方程的概念. 2、如果把椭圆定义中“平面上到两个定点的距离的和”改为“平面上到两个定点的距离的 “差”，则结论如何? 讲解新课 1、双曲线的定义 定义：平面上与两个定点、的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.两定点叫做焦点,两定点间的距离叫做焦距. 问题： (1)将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么? (双曲线的一支) (2)将定义中的常数令为零,动点轨迹是什么? (的中垂线) (3)将定义中的“小于”换为“等于”,动点轨迹是什么? (两条射线) (4)将定义中的“小于”换为“大于”,动点轨迹是什么? (不存在) (5)将定义中的“小于”去掉,动点轨迹是什么? (分类讨论) 四、双曲线的标准方程 取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴。 设P（x,y）为双曲线上的任意一点，|F1F2|=2c（c0）. 则：，又设M与F1,F2距离之差的绝对值等于2a（常数） ， ，化简，得： ，由定义 令代入，得：， 两边同除得：，此即为双曲线的标准方程。 它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是， 其中 若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程， 若焦点在y轴上，则 焦点是，将x,y互换，得到 ，此也是双曲线的标准方程。 所以双曲线的标准方程为： (a＞0,b＞0焦点在x轴上)或(a＞0,b＞0，焦点在y轴上) 例题讲解 （课本39页例1）已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程 解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 (,) ∵ ∴ ∴ 所求双曲线标准方程为 （类似课本40页例2）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340 m／s，求曲线的方程． 解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上 因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上． (2)如图，建立直角坐标系，使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中点重合。 设爆炸点P的坐标为，则 |PA|－|PB|=340×2=680， 即2＝680，＝340． 又|AB|=800， ∴2c=800，c=400，＝44400 ∵　 |PA|－|PB|＝680＞0， ∴＞0 所求双曲线的方程为（＞0） 已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点双曲线上两点，的坐标分别为，，求双曲线的标准方程 解：因为双曲线的焦点在轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为 （） 则有，即 解关于的二元一次方程组，得 所以，所求双曲线的标准方程为：。 课 题 2.3.1双曲线及其标准方程(2) 教学目的：进一步掌握双曲线的定义和标准方程的求法,特别要熟练掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程. 教学重点、难点：熟练掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程 教学过程 复习引入 名 称 椭 圆 双 曲 线 图 象 定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即 当2﹥2时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当2﹤2时，轨迹不存在 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即 当2﹤2时，轨迹是双曲线 当2=2时，轨迹是两条射线 当2﹥2时，轨迹不存在 标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据项的正负来判断焦点所 在的位置 常数的关 系 （符合勾股定理的结构） ， 最大， （符合勾股定理的结构） 最大，可以 例题讲解 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过两个点和的双曲线的方程。 解：设双曲线线方程为，因为点P，Q在双曲线上，所以 ， 所以所求的双曲线方程为： 【注】要注意此种设双曲方程的方法，这比分双曲的焦点在x轴上和y轴上两种情形要简便得多。 求与圆及都外切