4.系统的稳定性分析剖析.doc

Chapter4动态系统的稳定性分析 稳定性描述当系统遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，在扰动消失后系统自身能否恢复到原来平衡状态的一种性能。一个不稳定系统是不能正常工作的，如何判别系统的稳定性以及如何改善系统的稳定性是系统分析与设计的首要问题。所以讨论稳定性时只考虑的自由系统。 Lyapunov稳定性 考虑阶自由系统： 状态向量：，向量： 对，若存在某一状态点，使得对所有的都为系统的平衡状态（平衡点） 一个系统不一定存在平衡点，但有时又可以有多个平衡点。平衡点大多数在状态空间的原点。若平衡点不在原点，而是状态空间的孤立点，则可以通过坐标变换移到原点。 经典控制理论：用传递函数描述线性定常系统，主要用特征函数的极点分布、Routh（劳斯）判据、Hurwitz（胡尔维茨）判据、Nyquist（奈奎斯特）判据等来判别系统的稳定性。 现代控制理论：用状态空间描述MIMO线性时变系统或非线性时变系统。 根据系数矩阵的特征值即系统极点的分布来判别系统的稳定性。求出的是“既能控又能观”的极点，它也可以由传递函数求出；求出的是“能控不能观”、求出的是“不能控能观”、求出的是“既不能控又不能观”部分的极点，他们由于“零极点相消”不能反映在传递函数中，因而也不能由传递函数求出； Lyapunov间接法：通过求解系统的动态方程（求解困难甚至求解不出，受到很大限制!），再根据解的性质判断系统的稳定性； Lyapunov直接法：不通过求解系统的动态方程，只通过构造Lyapunov标量函数直接判定系统的稳定性。 4.1.1 Lyapunov稳定性定义 定义4-2（Lyapunov临界稳定）对任意给定的“小距离” （无论多么小的），总可以根据给定的和初始时间找到一个“半径”，只要系统初态与平衡点的距离小于“半径”时，就有任何时状态与平衡点的距离小于给定的“小距离”，，则称平衡状态是Lyapunov稳定（）。如果不需根据初始时刻来寻找“半径” ，则称一致稳定（）。称多维空间距离Euclid范数 （4-2） 这就是说：根据指定的小和系统的初始状态，以平衡点，以后系统的状态就只能在指定的范围内运行，在平衡点附近振荡，称为Lyapunov临界稳定。如果我们只根据指定的小就能划定一个半径为的范围，使系统只能在指定的范围内运行，称为一致Lyapunov稳定 图4-1 小球的稳定性 图4-2 李氏稳定 定义4-3（渐近稳定，局部稳定）系统不仅Lyapunov稳定，而且，则称平衡状态是渐近稳定（）。如果不需根据初始时刻来寻找半径，则称一致渐近稳定。 物理意义：系统状态开始在平衡点附近，则系统状态轨线最终落在平衡点。 只有渐近稳定才是工程意义上的稳定。但渐近稳定仍然是某平衡点附近的稳定（局部稳定），并不意味着整个系统就能运行。 图4-3 渐进稳定（局部稳定） 图4-4 全局稳定 图4-5 不稳定 定义4-4 若对任意初始状态，都有，则称平衡状态是大范围渐近稳定物理意义：无论开始系统状态在何处，其状态轨线最终会落在平衡点 定义4-5（不稳定） 对任意给定的“小距离” ，无论 “半径”怎么小，系统至少有一个初态，当，则有任何时候的状态与平衡点的距离大于给定的“小距离”，，则称平衡状态是不稳定（李氏不稳定）。几何意义是：无论系统初始状态如何接近平衡点，状态远离平衡点不会回到原平衡点或原平衡点附近。Lyapunov间接法判别稳定性 定理4-1 状态稳定性（内部稳定性）判别定理间接法。 判断平衡点的稳定性。 的特征值 ，所对应的约当块是二维的是不稳定平衡点。，显然，当，有是不稳定平衡点。 由此不难得出：“渐近稳定”的结论（2）和“不稳定”的结论（3） * 非线性系统的稳定性 间接法稳定性判别定理只能用于线性系统，因此，对于非线性系统，必须先作线性化处理，是高阶导数项。 （4-3） 令 ，，则 （4-4） 在系统一次近似的线性化方程基础上，Lyapunov给出如下结论： 分析系统平衡的稳定性系统非线性通常有多个平衡点。 令，可求出系统的平衡点：将系统在处线性化：其特征值，表明非线性系统在处不稳定。 将系统在处线性化：其特征值的实部为零，不能来判断系统在处是否稳定。 Lyapunov直接法判别稳定性） 力学原理：消耗能量能量，吸收能量—能量 电学原理：放电能量，充电能量，但系统能量 图4-6 RC电路的充放电过程 （1）若能量变化小于零，系统渐近稳定；（2）若能量变化大于零，系统不稳定（3）