姜启源之博弈模型幻灯片.ppt

Banzhaf 指标β Shapley指标φ 投票人的全排列 对排列由左向右检查决定者 统计每人在所有排列中的决定者次数ξ 投票人的获胜联盟集 对获胜联盟检查决定者 统计每人在所有获胜联盟中的决定者次数η 每个排列中有且只有一个决定者 每个组合中没有或有(几个)决定者 φ(=ξ/ n!) 已归一化 η需归一化才得到β 都满足度量权力的数量指标应该具有的性质. 加权投票与权力指标的应用 例4 拳击比赛设2个5人裁判组, 每人一票. 若第1组以5:0 或4:1判选手甲胜, 则甲胜; 若以3:2判甲胜, 则第2组再判; 除非第2组以0:5或1:4判甲负, 其他情况最终都判甲胜. 将以上裁判规则用加权投票系统表示; 计算系统的Shapley指标和Banzhaf指标. 设两组10人同时裁判, 组成N={A, A, A, A, A, B, B, B, B, B} 极小获胜联盟Wm = [3A2B] , S=[q: a, a, a, a, a, 1, 1, 1, 1, 1] ([4A] , [2A4B]) 第1组5人权重各2, 第2组人权重各1, 按简单多数规则执行. a=2, q=8 例4 极小获胜联盟Wm = [3A2B] , ([4A] , [2A4B]) 一个B在所有排列中的决定者次数/ 10！ (3A1B)B(2A3B) (2A3B)B(3A1B) 一个A的Shapley指标 φ=(0.1365, ……, 0.1365, 0.0635, ……, 0.0635) 计算S=[8: 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1] 的Shapley指标 一个B的 Shapley指标 只需考察 Shapley指标 例4 计算S=[8: 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1] 的Banzhaf指标 考察A，B可能成为决定者的那些获胜联盟类型和个数 2A5B 2A4B 3A3B 3A2B 4A1B 4A 获胜联盟类型 10 50 100 100 25 5 联盟个数 20 100 300 300 100 20 A为决定者次数 0 200 0 200 0 0 B为决定者次数 A为决定者的次数与B为决定者的次数之比 840:400 β=(0.1355, ……, 0.1355, 0.0645, ……, 0.0645) φ=(0.1365, ……, 0.1365, 0.0635, ……, 0.0635) w=(0.1333, ……, 0.1333, 0.0667, ……, 0.0667) 对比 总和 840 总和 400 例5 “团结就是力量”吗？ 40位议员组成议会, “民主党”(M)11席, “共和党”(G)14席,独立人士(D) 15席, 投票采取简单多数规则, 21票通过. 在独立和党派结盟情况下计算议员的Shapley指标. 1. 独立投票系统 S(1)=[21;1,1,…,1] 每位议员的Shapley指标相等：φi=1/40, i=1, …,40 “民主党”、”共和党”、独立人士议员的Shapley指标：φM=11/40=0.275, φG=14/40=0.350,φD=15/40=0.375 通过党派结盟能加强权力吗? 2. “民主党”(M)11 位议员结盟系统S(2) =[21;11,1,…,1] 例5 “团结就是力量”吗？ 计算φM 29 个1 M M加入, 成为决定者 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 φM= 11/30=0.367 在余下的1-11/30=19/30中G和D的Shapley指标按照14:15分配 φG= (19/30)*(14/29)=0.306,φD=0.327 对比 S(1)=[21;1,1,…,1] :φM=0.275, φG=0.350,φD=0.375 考察M在30人中的位置 : M+G(14)+D(15) “民主党“结盟使φM增加 , φG,φD减少. 例5 “团结就是力量”吗？ 3. “共和党”14位议员也结盟, 系统S(3) =[21;11,14,1,…,1] 15 个1 M G 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 M 加 入位置 i G加入位置 j D (j≤7, i8 ) M(j≤7, i≤8 )