5刚体力学基础习题思考题讲解.doc

习题5 5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为、半径为的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为和的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为，将由两个定滑轮以及质量为和的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程： ┄① ┄② ┄③ ┄④ ，┄⑤ 联立，解得：， 。 5-2．如图所示，一均匀细杆长为，质量为，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角速度绕过中心且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：，在杆上取一小质元，有微元摩擦力： ， 微元摩擦力矩：， 考虑对称性，有摩擦力矩： ； （2）根据转动定律，有：， ，∴。 或利用：，考虑到，， 有：。 5-3．如图所示，一个质量为的物体与绕???定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为、半径为 ,其转动惯量为，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。 解：受力分析如图，可建立方程： ┄① ┄② ，┄③ 联立，解得：，， 考虑到，∴，有：。 5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为，均匀分布在其边缘上，绳子端有一质量为的人抓住了绳端，而在绳的另一端系了一质量为的重物，如图。已知滑轮对轴的转动惯量，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求端重物上升的加速度？ 解一： 分别对人、滑轮与重物列出动力学方程 人 物 滑轮 由约束方程: 和,解上述方程组 得到. 解二： 选人、滑轮与重物为系统，设为人相对绳的速度，为重 物上升的速度，注意到为匀速，，系统对轴的角动量为： 而力矩为：， 根据角动量定理有：，∴。 5-5．计算质量为半径为的均质球体绕其轴线的转动惯量。 解：设球的半径为，总重量为，体密度， 考虑均质球体内一个微元：， 由定义：考虑微元到轴的距离为 ，有： 。 5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数，当时弹簧无形变，细棒的质量，求在的位置上细棒至少应具有多大的角速度，才能转动到水平位置？ 解：以图示下方的三角桩为轴，从时， 考虑机械能守恒，那么： 时的机械能为： ， 时的机械能为： 有： 根据几何关系：，得： 5-7．如图所示，一质量为、半径为的圆盘，可绕轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求： （1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点， 下降过程机械能守恒， 有： ，而 ∴ （2），方向向上。 5-8．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为和的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为和．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为的小球，以水平速度与杆下端小球作对心碰撞，碰后以的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解：根据角动量守恒，有： 有： ∴ 5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为，半径为，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为的子弹以水平速度垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过的竖直轴的转动惯量为，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解：（1）利用角动量守恒：　　　 得：； （2）选微分，其中：面密度， ∴由有：， 知： 将代入，即得： 。 5-10．有一质量为、长为的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为和，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。 (已知棒绕点的转动惯量) 解：由碰撞时角动量守恒，考虑到和方向相反，以逆时针为正向，有： ，得： 又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得： ，利用，有： ，得：。 5-11．如图所示，滑轮转动惯量为，半径为；物体的质量为，用一细绳与劲度系数的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解：（1）设弹簧的形变量为，下落最大距离为。 由机械能守恒：，有： ； （2）当物体下落时，由机械能守恒：， 考虑到，有：， 欲求速度最大值，将上式两边对求导，且令，有： ，将代入，有：， ∴当m时物体速度达最大值，有： ，代入数值可