8-2单服务台指数分布排队系统讲解.ppt

8.2 典型的排队模型分析;有限源 排队系统; 8.1.1单服务台指数分布排队系统 M/M/1无限源排队系统;1、系统的意义 顾客按泊松流输入,平均到达率为λ； 服务时间服从负指数分布,平均服务率为μ； 1个服务台； 系统容量为N,顾客源无限,排队规则为先到先服务的混合制排队系统。 当顾客来到系统时,若系统中的顾客已经等于N，则自动离去,另求服务 。 ;生灭随机过程—平稳状态的涵义;2、状态转移速度图 （1）系统状态 ：系统中的顾客数。 （2）状态转移速度图：;（3）写出状态转移速度矩阵Λ，进而写出系统稳态条件下的状态概率平衡方程（简称状态概率方程） ; 0 1 2 3 …… N-1 N; 把状态概率方程(6-1)打开,写成状态概率方程组,即可求出基本概率指标。(方法1) ;;继续打开，计算整理得：;（6-4） ; 当系统处于稳态时，对每个状态来说，转入率应等于转出率。 根据这个结果，即可获得系统稳态条件下的状态概率方程，进一步即可计算稳态系统的各项运行数量指标。 当系统状态为0时，有;N-1;于是得到简化形式的稳态概率方程组： ;P0为系统空闲的概率，因此系统不空的概率即服务台忙的概率（系统满的概率 或系统的损失概率 ） P忙=1-P0 （6-5） ②平均队长（系统中顾客数的期望值）LS和平均队列长Lq： ;③有效到达率λe（有效离去率μe ）——平均每单位时间进入（离去）系统的顾客数；在稳态情况下两者相等，因此有： ;由平均服务率μ的定义可得到每个顾客的平均服务时间为1/μ，因此有： ;? 有效到达率的另一种计算公式 λe=λ（1-PN）+0PN (系统不满时顾客以λ的速度 进入系统） =μ（1-P0）+0P0 （系统不空时顾客以μ的速度 离开系统） ?系统平均每单位时间损失的顾客数 λ损=λ-λe=λPN ?闲期和忙期; 从服务台闲到下一个顾客来到的平均间隔时间是1/λ，因此平均闲期长为 T闲=1/λ （6-11）;例8-1 某汽车加油站有一台油泵为汽车加油，站内可容纳4辆汽车，当站内停满车时，后来的汽车只能到别处加油。若需加油的汽车按泊松流到达，平均每小时4辆。每辆车加油所需时间服从负指数分布，平均每辆需12min，试求系统有关运行指标。 ?分析为什么是M/M/1/4/∞/FCFS排队系统？ ?选用适当公式计算有关指标 ;λ=4(辆/小时)，μ=1/(12/60)=5(辆/小时),于是： ;② Ls=P1+2P2+3P3+4P4=1.5629 ③ λe=λ(1-P4)=4(1-0.1218)=3.5128 ④ Ws=Ls/λe=1.5629/3.5128=0.4450(h) ⑤ Wq=Ws-1/μ=0.245(h) ⑥ Lq=Wqλe=0.86 ⑦λ损=λ-λe=0.4872 ⑧T忙=(1-P0)/λP0=0.59(h) ; 注 意; 试画出M/M/1客源无限的损失制排队系统的状态转移速度图，写出相应的状态转移速度矩阵及相应的基本数量指标表达式。;（1）M/M/1损失制系统状态转移速度图和状态转移速度矩阵：;（3）M/M/1损失制系统特征量计算公式 ;例8-2 将例6-1中N改为1，则转化为损失制系统，即加油站中只能停放1辆汽车，当站中有车正在加油，后来的车辆均离去，另求服务。试计算相应的数量指标。 由题中知λ=4（辆/h），μ=5（辆/h），代入公式（6-13）计算得到：;每小时接待的顾客数为 λe =λP0+0P1 = =2.2（辆/h）; 二、M/M/1等待制排队系统;2、系统的状态转移速度图：;（8-14）;相应的数量指标通过进一步计算可简化成下面更简单的形式：; M/M/1等待制系统特征量计算公式;例8-3 将例8-1中N=4改为没有容量限制，则问题转化为M/M/1等待制系统。 根据式(8-15)求解相应的数量指标得：