A_Theory_of_Viscoelastic_Analogy_for_Wave_Propagation_Normal_to_the_Layering_of_a_Layered_Medium1讲解.docx

波垂直传播到分层介质的粘弹性模拟理论 平面波在周期性正常分层介质中的传播已经被研究了。一个周期由两个均质线弹性材料或粘弹性材料组成。在这里运用了一个理论，分层介质用一个“等价物”线性均质粘弹性介质来代替从而使得分层介质中的应力响应与奇数层中间面相同。这里呈现了用来绝境等价的均质粘弹性介质中弛豫函数的方法，也可以通过处理等价的均质粘弹性介质中的瞬态波来获得该分层介质中的瞬态波。有着附加函数的斯蒂尔杰斯积分被用来解决奇数或偶数层非中见面部分的情况。我们对弹性分层介质进行了数值计算，并通过射线理论得到的方法进行了比较。结果表明，在无视所选位置是否靠近或远离冲击结束的情况下，目前的理论已经能够很好的预测出分层介质中任意位置的瞬态响应。 简介 波在分层介质中的传播已经被许多人研究过，尤其是最近的十年。各种各样的近似理论被用来预测分层介质中的动态响应。其中一些近似理论则是由Sun, Achenbach, and Herrmann提出的刚度理论，Sun, Achenbach, and Herrmann提出的混合理论以及Hegemier和他的同事提出的相互作用连续理论。 许多近似理论都可以根据正弦摆动很好的预测出频率方程以及色散关系，还有一些可以通过加载在边界上的阶跃应力来预测出后期瞬态波的渐近线。对于后者，可以用来预测后期的渐近解和波阵面。 没有可靠的方法来很好的预测出既不靠近又不远离撞击的区域的瞬态响应。对于有限分层介质的瞬态波也是如此。从实用的观点出发，我们推荐一个能够解决这个问题的理论。尽管为了简单我们在这里选择了半无限分层介质，但是这个理论是可以用于有限分层介质的。这个理论的基本原理就是用一个等价的均质线性粘弹性介质来代替这个分层介质（因此叫做粘弹性模拟理论），在奇数层的中间面上它们的动态响应是完全一样的。因为在均质线性粘弹性介质中波的传播可以很容易的求解，因此我们可以解决半无限和有限分层介质中瞬态波的传播问题。而除了奇数层中间面的其它部分则可以通过有着附加函数的斯蒂尔杰斯积分来求解。 图1.分层介质的几何模型 Barker提出了一种Maxwell体的粘性模型用来解决分??介质中的应力波传播。介质中的色散效果可以通过模型的粘度来算出。这个模型能够很好的预测整个的瞬态波，但却忽略了在介质中普遍存在的应力波的振荡特性。Christensen在Barker方法和电介质理论的推动下提出，如果是关于均质粘弹性介质的复合材料并且波长足够长，那么这个介质的弛豫函数就是关于时间的振荡函数。事实证明，这里的均质粘弹性弛豫函数满足这个理论。该指出的是，这里使用的方法不同于Barker 和 Christensen。这里的分析不需要长波假设，分层介质的组成材料可以为弹性或粘弹性。而且，在分层介质和均质粘弹性介质间的模拟在数学上是正确的。但是，根据拉普拉斯变换，决定这个等价的均质粘弹性弛豫函数时是需要近似的。如果能够将拉普拉斯变换准确的转化为等价的均质粘弹性弛豫函数，那么对于均质粘弹性介质的解决方法就和改分层介质的奇数层中间面的情况相同了。 基本方程 我们考虑图1中的分层介质，每个周期2ω都是由两层均质各向同性线性的弹性或粘弹性材料组成。这两个不同的材料分别用材料1和材料2来表示。因此材料1占据的层为1,3,5……，材料2占据的层为2,4,6……。每个层的厚度标记为2hi（i=1,2），这里的下标1和2分别代表材料1和2.在这里我们考虑的情况是平面波垂直传播到分层上。第一层的中间面标为x=0，并且正压力作用在x=0处。因此有一维平面波传播的运动方程和位移连续方程， ?σi?x=ρivi,（i=1,2） (1) ?vi?x=?i, （i=1,2） (2) 这里的点代表关于时间t的微分，这里的σi，?i，?i，ρi（i=1,2）分别代表正压力，正应力，粒子速度和质量密度。让λit和μit作为材料的弛豫函数。对于弹性材料，λit和μit是与t无关的并且为拉美常量。应力应变关系可以用斯蒂尔杰斯积分的形式写为： σix,t=0-tgit-td?ix,t (3) git=λit+2μit (4) 这里我们假设： σix,0-=vix,0-=?ix,0-=0 (5) 施加在x=0位置处的应力为： σ10,t=A1t (6) Laplace变换和Floquet理论 我们准备使用Laplace变换来求解方程（1）到（6）的问题， fp=0-∞fte-ptdt