ECC算法和加密应用大全讲解.docx

ECC算法和加密应用大全 （一）基本原理 ECC（Elliptic Curves Cryptography）加密算法是一种公钥加密算法，与主流的RSA算法相比，ECC算法可以使用较短的密钥达到相同的安全程度。近年来，人们对ECC的认识已经不再处于研究阶段，开始逐步进入实际应用，如国家密码管理局颁布的SM2算法就是基于ECC算法的。下面我们来认识一下ECC的工作原理。 椭圆曲线 定义 在引入椭圆曲线之前，不得不提到一种新的坐标系-------射影平面坐标系，它是对笛卡尔直角坐标系的扩展，增加了无穷远点的概念。在此坐标系下，两条平行的直线是有交点的，而交点就是无穷远点。两者的变换关系为： 笛卡尔坐标系中的点a（x,y），令x=X/Z，y=Y/Z，则射影平面坐标系下的点a的坐标为（X,Y,Z)，如点（2,3）就转换为（2Z,3Z,Z）。 椭圆曲线定义：一条椭圆曲线在射影平面上满足方程：Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3的所有点的集合，且曲线上每个点都是非奇异的。 该方程有名维尔维斯特拉斯方程，椭圆曲线的形状不是椭圆，只是因为其描述的方程类似于计算一个椭圆周长的方程。转换到笛卡尔坐标系下的方程为： y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6 加法法则 运算法则：任意取椭圆曲线上两点P、Q （若P、Q两点重合，则做P点的切线）做直线交于椭圆曲线的另一点R’，过R’做y轴的平行线交于R。 我们规定P+Q=R。（如图） 此处+不是简单的实数相加，是抽象出来的 O∞+P=P，O∞为零元 曲线上三个点A,B,C处于一条直线上，则A+B+C=O∞ 下面，我们利用P、Q点的坐标(x1,y1)，(x2,y2)，求出R=P+Q的坐标(x4,y4)。 P,Q,R共线，设为y=kx+b， 若P≠Q，k=(y1-y2)/(x1-x2) 若P=Q，k=(3x2+2a2x+a4?-a1y) /(2y+a1x+a3) 解方程组得到： x4=k2+ka1-a2-x1-x2;?y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3; 密码学中的椭圆曲线 定义 在有限域Fp中定义一个椭圆曲线，常用y2=x3+ax+b Fp中只有p个元素，p为素数 Fp中，a+b≡c (mod p)，a×b≡c (mod p)，a/b≡c (mod p) 4a3+27b2≠0　(mod p) a，b是小于p的非负整数 x，y属于0到p-1间的证书，曲线标记为Ep（a，b） 阶：椭圆曲线上一点P，存在正整数n，使得nP=O∞，则n为P的阶，若n不存在，则P是无限阶的，有限域上定义的椭圆曲线上所有点的阶都存在。 椭圆曲线难题 K=kG，其中K,G为Ep（a,b）上的点，k为小于n的整数，n是点G的阶，给定k和G，计算K容易，但是给定K和G，求k就很难了！ 因此，设K为公钥，k为私钥，G为基点。 加密过程 A选定一条椭圆曲线Ep（a,b），并取曲线上一点作为基点G A选择一个私钥k，并生成公钥K=kG A将Ep（a,b）和k，G发送给B B收到后将明文编码到Ep（a,b）上一点M，并产生一个随机数r B计算点C1=M+rK，C2=rG B将C1，C2传给A A计算C1-kC2=M+rkG-krG=M A对M解码得到明文 攻击者只能得到Ep（a,b），G，K，C1，C2，没有k就无法得到M。 签名验签流程 A选定一条椭圆曲线Ep（a，b），并取曲线上一点作为基点G A选择一个私钥k，并生成公钥K=kG A产生一个随机数r，计算R(x,y)=rG A计算Hash=SHA(M)，M‘=M(modp) A计算S=（Hash+Mk）/r(modp) B获得S和M，Ep(a,b)，K，R(x,y) B计算Hash=SHA(M)，M=M(modp) B计算R=（Hash*G+M*K）/S=(Hash*G+M*kG)*r/(Hash+Mk)=rG=R（x,y），若R=R，则验签成功。 以上加解密和签名验签流程只是一个例子，具体应用时可以利用K=kG这一特性变幻出多种加解密方式。 好了ECC加密算法的介绍就到这里了。 （二）羽毛币应用 ECC算法是基于有限域的椭圆曲线上的数学算法。关于ECC算法基本原理的介绍，请参考《ECC加密算法入门介绍》（/eccmath），本文重点介绍Bitcoin系统中采用的公钥密码学方案和签名算法的实现细节。 一、 公钥(pubkey)、私钥(privkey)是什么 公开密钥加密（public-key cryptography，也称为非对称(密钥)加密），是指存在一对数学算法相关的密钥，使用其中一个密钥加密后所得的信息，只能用另一个密钥才能解密。如果其中一个公开后并不会危害到另外一个的秘密性质，则称公开的密钥为公钥，不公开的密钥为私钥。