数值分析6.3复化求积公式、龙贝格求积公式分析.ppt

6.3 复化求积公式; 为了提高精度，通常在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或抛物形公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想. 我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复化求积公式.; 将积分区间[a, b]n等分, 步长;6.3.1 复化梯形公式; 若 f(x)?C2[a,b], 其求积余项Rn(f )为(p239);当n→∞时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函数的积分，所以复化梯形公式收敛. 此外，Tn 的求积系数均为正，由定理2知复化梯形公式是稳定的.;6.3.2 复化辛普森公式;称为复化辛普森公式. 记;6.3.2 复化辛普森公式;称为复化辛普森公式. 记; 例1 对于函数 f(x)=sinx/x，给出n=8的函数表，试用复化梯形公式和复化辛普森公式 计算积分; 比较上面两个计算结果T8与S4，它们都需要提供9个点上的函数值，然而精度却差别很大，同积分准确值 I=0.9460831比较，应用复化梯形公式计算的结果T8=0.9456909只有2位有效数字，而应用复化辛普森公式计算的结果 S4= 0.9460832却有6位有效数字.;于是; 例2 利用复化梯形公式计算 使其误差限为10-4，应将区间[0, 1]几等分?; 例3 利用复化辛普森公式计算 使其误差限为10-4，应将区间[0, 1]几等分?; 注1: 用复化梯形公式计算此题，满足相同的精度需要将区间[0, 1]划分17等分，可见复化辛普森公式的精度比复化梯形公式精度高.;6.4 龙贝格求积公式; 设hn=(b-a)/n, xk=a+khn (k=0,1,?,n),在[xk, xk+1];从0到n-1对k累加求和得 ;6.4.2 龙贝格算法; 由此可见，如果二分前后的两个积分值Tn与T2n相当接近，就可以保证计算结果T2n的误差很小. 这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的事后估计法.; 可以直接验证;则;则; 一般我们将这种龙贝格算法做成表格 ;例1 利用龙贝格方法计算;6.4.3 理查森外推加速方法; 定理 设 f(x)?C∞[a, b]，则有;改记为; 如此推下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶，速度较快，一般地，若记T0(h)=T(h)，则有;如此继续下去，可得;即; 龙贝格求积算法的计算过程如下：;Ｔ数表; 可以证明，如果f(x)充分光滑，那么T数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值 I，即