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通过变量替换 ,先前的等式可以被转化为曲线积分
其中 是一个由 定义的逆时针曲线。;但是当 被任意包含了 收敛域中 的曲线 替换时,积分保持不变。
曲线积分可以用柯西留数定理来计算
上面的公式需要在所有n值得范围内计算,在这里我们没有对其进行展开计算。
;具有因果逆变换 的有理Z变换 的收敛域是某个圆的外部。
此时,用部分分式展开形式表示 ,然后对展开式中每个简单项的逆变换求和来求 ,这样做相当方便。;有理 可以表示为
如果 , 可以表示为
其中 的阶次小于 。;有理函数 称为真分式。
为由 得到合适因式部分 ,以反序的方式用 长除 直到余数多项式的阶次小于分母 的阶次。
;例:考虑有理Z变换
通过反序长除可得
;单极点:在大多数的实际情况中, 是具有单极点的真分式。
设 的极点在 处, 。
则 的部分分式展开形如
;部分分式展开中常量 称为留数,为
等号右边和式中的每一项的收敛域为 ,因而是形如 的逆变换。;因此, 的逆变换 为
注意:上述方法经过稍许修改后就可以用来求具有有理Z变换的非因果序列的逆Z变换。
;例:设因果序列 的Z变换为
因而 的部分分式展开形如
;现在
及
;得到
因此上式的逆变换为
;多重极点:若 是有多重极点的真分式,则部分分式展开的形式稍微有所不同。
例如,若在 处有 重极点,而其他
个极点是在 的单极点,;则 的部分分式展开形如
式中常数 用下面的方程计算:
而留数则按前面所讲的方法计算。; 生成有理Z变换的部分分式展开式,其中输入数据是分别包含分子和分母多项式的系数向量num和den。
向量r包含留数
向量p包含极点
向量k包含常数; 用来实现逆运算。;对于因果序列,Z变换 可以展开成 的幂级数。
在该级数展开式中,乘以项 的系数就是第 个样本 。
对于因果有理 ,将分子和分母表示为 的多项式,然后通过长除法得到幂级数的展开来求幂级数将会很方便。;例:考虑
用分子对分母进行长除,得到
从而有
;可以用函数impz来计算有理Z变换 的逆。
函数计算 的幂级数展开的系数。
系数的个数可以确定或自动获得。;6.5 Z变换定理;例:考虑双边序列
记 及 ,其中
和 分别是它们的Z变换。
;利用线性性质可得
的收敛域是 和 的重叠部分。
若 ,则收敛域存在重叠,那么 的收敛域就是环域 。
若 ,则收敛域不存在重叠,结果则是 不存在。;例:计算因果序列 的Z变换和收敛域
可将序列表示为 ,其中
的Z变换为
;使用共轭性质,可得 的Z变换为
因此,由线性定理可得
;或
例:计算序列 的Z变换和收敛域
将 写成 ,其中
;序列 的Z变换
利用微分定理,??到 的Z变换
;利用线性性质最终可得
;定义长度为 的有限长序列
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