1正弦定理、余弦定理及解三角形摘要.doc

数学《教·学案》 授课人：邱瑶 时间：8月31日 课题 正弦定理、余弦定理及解三角形1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．知 识 梳 理 1．正、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 常见 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)ab∶c＝sin_Asin_B∶sin_C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.SABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)． (2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 诊 断 自 测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 (1)在ABC中，A＞B必有sin A＞sin B．(√) (2)在ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A＝60°或120°.(√) (3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是.(×) 2．(2014·江西卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为(　　) A．　B．　 C．1　D． 解析　由正弦定理知，＝＝ 22－1，又知3a＝2b，所以＝，＝2×2－1＝，故选D． 答案　D 3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10海里　B．10海里 C．20海里　D．20海里 解析　如图所示，易知，在ABC中，AB＝20海里，CAB＝30°，ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)． 答案　A 4．(2014·福建卷)在ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于________. 解析　由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A，即3＝4＋AB2－2AB，即AB2－2AB＋1＝0.解得AB＝1. 答案　1 5．(人教A必修5P10B2改编)在ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________. 解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， 即A＝B或A＋B＝， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案　等腰三角形或直角三角形 考点一　正、余弦定理的简单运用 【例1】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若a＝2，b＝，A＝45°，则c＝________. (2)若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________. 解析　(1)法一　在ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝，因为b＜a，所以B＜A，所以B＝30°，C＝180°－A－B＝105°，sin C＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝. 故c＝＝＝＋3. 法二　在ABC中，根据余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即c2－2c－6＝0，所以c＝±3.因为c＞0，所以c＝＋3. (2)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac. 由余弦定理的推论得cos B＝＝－， 所以B＝. 答案　(1)3＋