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一、复习导入
(一)放缩与相似形
1、观察
以下几组图形有什么特征?
A
B
C
2、概念辨析
(1)图形的放大或缩小称为图形的放缩运动.
(2)把形状相同,大小不一定相等的两个图形称为相似形.
(3)如果两个多边形是相似图形,那么这两个多边形的对应角相等,各对应边的长度成比例(或各对应边长度的比值是相等的)
(4)如果两个相似的多边形是全等形时,它们对应边的长度的比值是1。
(二)比例线段
1、知识回顾:
四个量中,如果,那么就说成比例,即表示两个比相等的式子叫做比例。其中分别叫做第一、二、三、四比例项,第一比例项和第四比例项叫做比例外项,第二比例项和第三比例项叫做比例内项。
2、比例线段
在同一长度单位下,a、b两线段长度的比叫做这两线段的比。记为a:b或 EQ \F(a,b)
注意:(1)两线段是几何图形,可用它的长度比来确定;
(2)度量线段的长,单位多种,但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数,比值与采用的长度单位无关。
(3)表示方式与数字的比表示类同,但它也可以表示为AB:CD.
比例线段:一般地,四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d比,即 EQ \F(a,b) = EQ \F(c,d) ,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段。(如果四条线段的长度成比例,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段)
3、比例的基本性质
EQ \F(a,b) = EQ \F(c,d) = ad=bc (a、b、c、d都不为零)
两内项之积等于两外项之积。
由 EQ \F(a,b) = EQ \F(c,d) =ad=bc的形式是唯一的,而由ad=bc= EQ \F(a,b) = EQ \F(c,d) 的形式不唯一,有8个不同的比例式。
4、等比性质和合比性质
(1)合比性质:
问题1 如果,那么是否成立?
类似可以得到:
如果,那么 把这两个性质叫做合??性质.
(2)等比性质:
问题2 如果,那么是否成立? 这个性质叫做比例的等比性质.
等比性质可以推广到任意个相等的比的情形.例如:
如果,那么
5、黄金分割
A
C
B
图4-4
一般地,如果三个数a、b、c满足比例式 EQ \F(a,b) = EQ \F(b,c) (或a:b=b: c),则b叫做a,c的比例中项.
EQ \F(a,b) = EQ \F(b,c) =b2=ac。
(1)五角星是我们常见的图形.在图4-4中,度量点C到点A,B的距离
EQ \F(AC,AB) 与 EQ \F(BC,AC) 相等吗?
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 EQ \F(BC,AC) = EQ \F(AC,AB) ,
那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
(2)黄金分割的深远意义
历史上,人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率,广泛应用于建筑和雕刻中,如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等,一些长方形的画框,宽与长之比也设计成0.618,在自然界中也有很多例子,美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
5、比例尺:比例尺=,即图上距离=实际距离×比例尺。
6、平行线分线段成比例
(1)定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
(2)、推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
二、新课
A
B
C
E
D
F
例1、如图,△ABC与△DEF是相似图形,且点A与点D相对应,点B与E相对应,点C与点F相对应,AB=1.7cm,BC=2.9cm,AC=3.7cm,DE=3.4cm, 求DF,EF的长度,并求∠C,∠D,∠E,∠F的度数.
[说明]由本例题得出“相似图形的对应角相等、对应边成比例”.
追问:两个矩形、两个等腰三角形、两个正方形、两个等腰直角三角形一定是相似图形吗?为什么呢?
练一练:
1、已知四边形ABCD与四边形是相似图形,并且与,与,与,与是对应点.已知的长度分别是6,8,8,10,的长是6,求,,,的长.
2、判断题:
(1)两个直角三角形一定是相似图形。
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