2.1非线性方程的数值求法摘要.pptx

第七章 非线性方程与方程组的数值解法 引言 在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程 　　　 　 f(x)=0 的求根问题，其中 f(x) 为非线性函数。 在光的衍射理论中, 我们需要求x-tanx=0的根 在行星轨道的计算中,对任意的a和b，我们需要求x-asinx=b的根 对于非线性函数 f(x) ，方程 f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点。 如果f(x)可以分解成 ，其中m为正整数且 ，则称 x* 是 f(x) 的 m 重零点,或称方程 f(x) =0的m重根。当m=1时称x*为单根。若 f(x) 存在m阶导数,则是方程 f(x) 的m重根 (m1) ，有 记笔记 当 f(x) 不是 x 的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果 f(x) 是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的方程 为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的 一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法。 科学计算中，常用逼近根的方式来求解复杂多项式方程的近似根，这样求得的根虽然不是百分之百准确，但一般可以达到任意给定的精度，足以满足实际要求。 记笔记 通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行 ①?判定根的存在性。即方程有没有根？如果有 根，有几个根？ ② 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔 离开来，这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值。 ③ 根的精确化。将根的初始近似值按某种方法 逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止 数值分析中的求根方法： 区间法：利用使含根区间逐步缩小的思想造出一个收敛的数列{xk}，达到根的精确化目的 迭代法：利用迭代公式产生的收敛数列来做根的精确化。 共同点都是构造收敛于根的数列{xk} ，不同的实产生{xk}的方法不一样。 重点论述二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法及其变形的原理、构造、收敛性等内容 7.1 二分法 二分法又称二分区间法、对分区间法、对分法,是求解方程近似根的一种常用的简单方法。 设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a) f(b)0,根据连续函数的性质可知, f(x)=0在(a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间。为明确起见,假定方程 f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根x*。（微积分的零点定理） 二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区间缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度要求的近似根。 7.1.1确定有根区间的方法 为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围， 称为圈定根或根的隔离。 在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定 精度要求的初值。 对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数 相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无 解，并没有什么固定的圈根方法 求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与 x轴交点的横坐标。 由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的单值连续, 如果f (a)·f (b)0 , 则[a,b]中至少有一个实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。 记笔记 由此可大体确定根所在子区间，方法有： (1) 画图法 (2) 逐步有哪些信誉好的足球投注网站法 y=f(x) a b y x (1) 画图法 画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的 大致位置。 也可将f (x) = 0分解为?1(x)= ?2(x)的形式，?1(x) 与 ?2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根 区间。 例如 xlogx-1= 0 可以改写为logx=1/x 画出对数曲线y=logx,与双曲线y= 1/x,它们交 点的横坐标位于区间[2,3]内 (1) 画图法 0 2 3 y x 对于某些看不清根的函数，可以扩大一下曲线 (1) 画图法 记笔记 A B (2) 逐步有哪些信誉好的足球投注网站法 (2) 有哪些信誉好的足球投注网站法 对于给定的f (x),设有根区间为[A,B],从