1n阶行列式摘要.ppt

第一节　二阶与三阶行列式;定义 1 由1，2，……,n组成的一个有序数组称为一个n 级全排列（简称排列）。 ;定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 ;定义4 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换， 叫做相邻对换（邻换）。 ;定义5 设有n2个数aij（i，j＝1，2，…, n）， 排成正方阵形式;它们的和;说明：;例 计算4阶行列式;注：可扩充到n阶的情形。;例4 证明 ;所以行列式的值为 ;主对角线以上的元素全为零（即ij时元素aij＝0）的行列式称为下三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积。;定理3 n阶行列式的项可以写成 ;证明：;§3 行列式的性质 ;按行列式定义 ;对于D中任一项 ;所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。 ;性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。 ;性质5 若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，例如 ;性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 ;总结：三种行列式变换;例9;返回;§4 行列式按行（列）展开 ;引理 n阶行列式D，如果其中第i行元素除aij外全部为零，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即 D＝aijAij;对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论。 ;定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ;返回;例10 计算行列式 ;例13 计算行列式 ;推论 行列式一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 ;当i?j,将式中ajk换成aik(k=1,2,…,n),可得;代数余子式的重要性质:;例15 计算n阶行列式(递推公式法) ;这个式子对任何n(n?2) 都成立,故有 ;习 题;2;3;4;解：首先考虑n＋1阶范德蒙行列式;二者应相等，故;例 用行列式分解的方法求行列式;解：此行列式可表为 个n阶行列式之和;例 用递推关系法求行列式;返回;练习;§5 克拉默法则 ;证明 (1) 方程组简写为;所以;??17 解线性方程组;于是方程组有解 x1=3,x2=-4,x3=-1,x4=1 ;克拉默法则亦可叙述为;推论 如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线性方程组的系数行列式必为零。;例18 问?为何值时，齐次线性方程组;若方程组有非零解,则它的系数行列式D=0,从而有? =2, ? =5, ? =8。 容易验证,当? =2, ? =5,或? =8时,齐次线性方程组有非零解.