浙江大学概率论与数理统计第五章分析.ppt

第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结 李雅普诺夫资料 德莫佛资料 拉普拉斯资料 第五章 大数定律及中心极限定理习 题 课 一、重点与难点 二、主要内容 契比雪夫定理的特殊情况 定理一的另一种表示 伯努利大数定理 辛钦定理 独立同分布的中心极限定理 李雅普诺夫定理 德莫佛－拉普拉斯定理 三、典型例题 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率. 解 设 X 为一年中投保老人的死亡数, 由德莫佛－拉普拉斯定理知, 例3 保险公司亏本的概率 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X 超过450的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解 例4 根据独立同分布的中心极限定理， 由德莫佛－拉普拉斯定理知, 证 例5 根据独立同分布的中心极限定理， 三个中心极限定理 独立同分布的中心极限定理 李雅普诺夫定理 德莫佛－拉普拉斯定理 中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布. Aleksandr Mikhailovich Lyapunov Born: 6 Jun. 1857 in Yaroslavl, RussiaDied: 3 Nov. 1918 in Odessa, Russia Abraham de Moivre Born: 26 May. 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov. 1754 in London, England Pierre-Simon Laplace Born: 23 Mar. 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, France Died: 5 Mar. 1827 in Paris, France 二、主要内容 三、典型例题 一、重点与难点 1.重点 中心极限定理及其运用. 2.难点 证明随机变量服从大数定律. 大数定律 中心极限定理 定 理 一 定理二 定理三 定理一的另一种表示 定理一 定理二 定理三 第五章 大数定律与中心极限定理 本章要解决的问题 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 大样本统计推断的理论基础 是什么？ 答复 大数 定律 中心极 限定理 设非负 r.v. X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数 ? 0, 证 仅证连续型 r.v.的情形 重要不等式 §5.1 大数定律 设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k) 存在，则对于任意实数 ? 0, 推论 1 设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 ? 0, 推论 2 ——切贝雪夫( chebyshev)不等式 或 当 ? 2? D(X) 无实际意义, ——马尔可夫 ( Markov ) 不等式 例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试 估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比 例与1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X ~ B (6000,1/6 ) 实际精确计算 用Poisson 分布近似计算 取? = 1000 大数定律 贝努里（Bernoulli） 大数定律 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率, 则 有 或 证 引入 r.v. 序列{Xk} 设 则 相互独立， 记 由 Chebyshev 不等式 故 在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生 的概率是指： 频率 与 p 有较大偏差 是 小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定. 贝努里(Bernoulli)大数定律的意义 定义 a 是一常数， (或 则称 r.v. 序列 依概率 收敛于常数 a , 记作 故 是一系列 r.v. 设 有 若 在 B