授课题目一阶隐方程与参数表示授课类型理论课首次授课时间2011年.doc

授课题目 一阶隐方程与参数表示 授课类型 理论课 首次授课时间 2011年3 月16日 学时 2 教学目标 掌握四类一阶隐方程： 的求解； 掌握Clairaut方程的求解及其应用 重点与难点 重点：一阶隐方程的解法，Clairaut方程的求解 难点：一阶隐方程的解法，Clairaut方程的求解 教学手段与方法 讲授与实例结合 教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分内容时间分配㈠授课思路 ㈡过程设计 ⒈稳定课堂秩序，组织教学； ⒉引入新课； ⒊讲授新课 ⒋课堂练习与讨论 ⒌课堂小结与布置作业 ㈢讲解要点及各部分具体内容???? 前面几节介绍的是求解显式方程??????????????????????????????????????????????????（1.9）的一些初等积分法.本节要讨论如何求解隐式方程??????????????????????????????????????????????????（1.8）方程(1.8)也称为导数未解出的一阶方程.???? 求解方程(1.8)的问题分两种情况考虑：???? 1． 假如能从(1.8)中把解出，就得到一个或几个显式方程????????????????????如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到方程(1.8)的解. ????例1 求解方程??????????????????????解 方程左端可以分解因式， 得?????????????????????????从而得到两个方程????????????????????????? 这两个方程都可以求积， 得到????????????????????????? 它们都是原方程的解.????2．如果在(1.8)中不能解出时，则可用下面介绍的“参数法”求解，本节主要介绍其中类可积类型，????类型????????????? ???? 类型????????????? 类型的特点是，方程中不含y 或x ；类型的特点是y 可以解出或x 可以解出. ????现在，考虑类型中的方程????????????????????????????????????????????????? （1）令，有 ，???????????????????????????? ② 若能求得（3）的通解形式为 （c为任意常数） 则 （p为参数，c为任意常数） 为（1）的通解。 ③ 若能求得（3）的通解形式为 （c为任意常数） 则 （p为参数，c为任意常数） 为（1）的通解。 例2 求方程的解。 解 令，有， （1） 两边对求导，得 当时，两端乘以，得 即，积分得，所以， 代入（1）得，所以原方程参数形式的通解为 ????????。?????????? 例求解方程???????????????????????????? 解 令 原方程的参数形式为??????????????????????????????????????????????????(1.72) 由基本关系式有或上式又可化为由 ，代入(1.72)的第三式，得原程的一个特解.再由 ，解得，代入(1.72)的第三式，得原方程的通解例求解方程???????????????????????????????????????????????(1.73)这里，假定是二次可微函数.????解 (1.73)的参数形式为???????????????????????????????????????????????(1.74)由基本关系式??????????????????????????????????有????????????????????????整理得??????????????????????????????由，得，代入(1.74)的第三式，得原方程通解??????????????????????????????  ????????????????(1.75)由于 ，由 解得隐函数,代入(1.74)第三式，得到原方程的一个特解???????????????????????????????????????????????(1.76) ?隐函数存在定理及求导公式 ????隐函数方程 （1） ????设 在点的某一领域内满足 ????? 具有连续偏导数； ?????； ????? ，则方程（1）在的某领域内?恒能唯一确定一个单值连续且有连续导数的函数，?满足 ，并且???????????????（）（）称为隐函数求导公式.方程(1.73)称为克莱洛 (Clairaut)方程. 由(1.7