数学与猜想----数学期望值-龙腾文化.doc

一、前言 》 99課程數學課本第二冊第4章數據分析單元介紹使用「最小平方法」求二維數據的迴歸直線方程式，並進而使用迴歸直線來做預測。但是若有兩組數據，且已經分別求出各自的迴歸直線，那麼我們如何知道哪一組的迴歸直線較適合用來做預測呢？也就是說，迴歸直線雖然名稱為「最佳直線」，但用來做預估時，應有它準確性的限制，而所產生的誤差究竟有多大呢？本文即是探討二維數據的迴歸直線用來做預測時，所產生的誤差。 二、迴歸直線方程式推導 》 各個高中數學課本版本對於推導迴歸直線方程式有所不同。翰林版與康熹版採用原始數據直接配方後而得〔註1〕〔註2〕，而龍騰版、南一版、全華版、三民版則是先將原始數據標準化後再配方〔註3〕〔註4〕〔註5〕〔註6〕。本文使用原始數據去推導迴歸直線，但是推導的過程與前述課本的方法有所不同，分別採用「改良式配方法」與「解二元一次方程組」兩種方法。 方法一：改良式配方法 有別於課本中的傳統配方法，在此將拆開成三項：與與，再平方展開，推導過程如下：      因為，同理故原式可繼續推導得到  ，我們發現上式為A、B、C三項的組合，其中   觀察A，B，C三項可知：與a，b無關， 欲產生最小值， 必須，亦即，而，由上式可知，欲使C產生最小值，必須 ，亦即 ，若以上式解出的b代入，即可得到。 方法二：解二元一次方程組 在這個方法中，將誤差平方展開後，依a，b分類，令一為常數，另一為變數，並配方後求方程組的解。    ，令b為常數，則欲使產生最小值，必須 ，亦即同樣方法，若    令a為常數，則欲產生最小值，必須 ，亦即由以上結果，可得到以a，b為變數的二元一次方程組 由克拉瑪公式，得到方程組的解為   以上兩種推導的方法，其結果相同，得到迴歸直線方程式為，其中直線斜率，而y截距。 三、迴歸直線之誤差計算 》 若是給定一組數據，我們已經可求出迴歸直線，而且知道這條直線是最能擬合原始數據的「最適合直線」，但問題是：擬合的程度是如何？若是用迴歸直線來預測未知的數值時，其預測的誤差有多大？準確性有多高？為了解答上述的疑惑，以下我們針對預測所產生的誤差來討論。 因為迴歸直線方程式為，令的預測值為，則可推導得（推導過程見附錄）。 我們發現，可看成是一不變量，它不受迴歸直線方程式係數所影響，且此不變量由兩部分與所組成，而後者則是最小平方法所計算之誤差平方和，可視為以迴歸直線所預測產生錯誤的部分，相對而言，前者則可視為以迴歸直線準確預測的部分，此兩部分組成總不變量。 在實際估算時，若是要求預測能夠準確，則錯誤預測的部分要愈小愈好，正確預測的部分要愈大愈好，但這些數值受到數據個數n的影響，也就是數據個數愈多，則誤差平方和當然愈大，但不代表預測不準確，故我們轉而計算預測正確部分在總不變量中占了多少百分比，因為  ， 所以  ，因為我們知道x，y的相關係數，故由上面的推導，我們發現剛好等於相關係數的平方，此數值稱為決定係數(coefficient of determination)〔註7〕，它表示用迴歸直線來做預測時的準確度，當決定係數愈大時，表示迴歸直線所做的預測愈準確。 四、實例分析 》 以下這個實例係採自龍騰課本第二冊第200頁的例題〔註3〕，我們將它延伸至求預測的準確度。 實例：若有甲乙丙丁戊5個考生，其筆試與口試的成績如下表： 考生 甲 乙 丙 丁 戊 筆試成績x 5 5 4 7 9 口試成績y 3 1 4 3 9