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二次整数场与合数分解 林从汉 福建省科技信息研究所，福州 (350003) E-mail：Lin370409@163.com 摘 要：本文通过整数的排列,构造了二次整数场,并对二次整数场进行初步探索,建立了整数 场三个定理,并以此为基础,对奇合数的分解进行一些探讨，提出一类可简捷计算分解的奇合 数。 关键词：整数场；合数；因子分解 ⒈ 二次整数场的定义 类同于具有一定特性的温度场、密度场等标量场，整数也可以通过排列构造具有一定特 性的整数标量场。本文的目的就在于通过构造具有二次特性的整数场，探讨奇合数分解的若 干问题。 定义 1：整数场是纵横网线正交、无限扩展的平面网格场,每一个网线的交点都与一个确 定的整数 n 相对应（以下将这样的网格点简称为数场整数点或整数点）。在整数场上，若以 任一整数点 n 为起点，向任一直线方向逐项连续取数，都得到一个二阶等差数列，亦即得到 一个二次多项式： cjjn j ++= ba 2 式中： 0=j 、1、2、3…… 对于具有上述特性的整数场，则把它定义为二次整数场。 ⒉ 一种构造二次整数场的方法（见图 1） 整数场的主场区（图 1 中 ACEΔ 场区）是将自然数N的各完全平方数区间数段，按顺 序迭加排列起来，形成一个向下无限扩展的三角形整数场区。然后将主场区横网线整数点按 一阶等差数列的规律向左右扩展，并将纵网线整数点按二阶等差数列的规律向上扩展，从而 形成一个向四周无限扩展的代数几何系统[1]——平面标量整数场。 2.1 整数场在结构上的主要特点 定义 2：整数场的若干结构要素定义如下，从任一直线方向连接各相关整数点而形成的 直线叫数直线；横向的数直线称为整数场的行；竖直方向的数直线称为整数场的列；两条连 接完全平方数点的数直线称为整数场的准线；各个数值相等的整数点连成的曲线称为等数 线，n=…… -3、-2、-1、0、1、2、3 ……各等数线组成等数线族，其中零点等数线特称为整 数场的基线，每个零点都给它一个特定的标号 i（标于 0 的右下角），i =…… -3、-2、-1、0、 1、2、3 ……(下面把第 i 号零点称为 )。 iO 整数场在结构上主要有如下几个特点： - 1 - - 2 - （1）整数场以 OO? 中心线为对称轴，形成上下对称的代数几何图象； （2）AB 和 CD 两条准线正交于 E 点，把整数场分割为四个场区： ACE△ 和 BED△ 为主 场区（以下所说的主场区皆指 ACE△ 主场区）；CEB 折线以左为左场区；AED 折线以右为 右场区。基线包围着整数场的负整数场区。 为分析方便，把 AE 和 ED 分别定为 ACE△ 和 BED△ 主场区的右闭边界（即右场区的 左开边界），而把 CE 和 EB 分别定为 ACE△ 和 BED△ 主场区的左开边界（即左场区的右闭 边界）。 （3）每个主场区内整数不重复，且连续完整，而主场区外的左场区和右场区，其整数则 层层交叉重复。主场区整数结构的特点有利于目标合数的定位和分解，而合数的分解又是 以左场区中基线的零点为基点，故 ACE△ 主场区和左场区成为合数分解的基础场区。 （4）整数场上带圆圈的整数是素数。图 1 中右场区和主场区画有若干素数垂直线段、斜 线段与曲线段（若将场区扩大，将会显现多条完整的素数线段），但本文对整数场中素数的 特性未作讨论，仅对整数场中合数的特性进行一些探讨。 2.2 整数场的特性分析 为分析该整数场的特性，首先引入 和 两参量： nq nl 定义 3：设 n 为非完全平方数，将主场区内 n 平方根的整数部分 ，定义为 n 所在主场 区行的特征参量。其值为： nq [ ]nq =n （1） 定义 4：在 ACE△ 主场区内 ，将 n 与 AE 准线 整数点之间的距离 定义为 n 的特征参量。其值为： 2)1( +nq nl （2） nql ?+= 2)1( nn 图 2 中，FG 为主场区任选的数直线，AE 为完全平方数线。为表达数直线的斜率，引 入 xψ 和 yψ 两参数。 xψ 是数直线x 轴的项进量，即数直线上相邻整数之间 坐标的差值；x yψ 是数直线y 轴的项进量，即数直线上相邻整数之间 坐标的差值（例如：图 1 中任选 FG 为“148-205-270-343-……”，对应 AE 完全平方数线为“169-225-289-361……”，其 y 3=xψ ， 2=yψ ）。 - 3 - 现证