第二宇宙速度的推导.doc

第二宇宙速度的推导 上海中学 张晓红 在地面上发射一个航天器，使之能脱离地球的引力场所需要的最小发射速度，称为第二宇宙速度。一个航天器在它的燃料烧完后脱离地球的过程中，该系统符合机械能守恒的条件。由此即可推得第二宇宙速度v2。 要计算第二宇宙速度，必须求出在地球引力场中，移动物体时克服引力所做的功。很显然，物体上升的越高，需要做的功也就越多。但同一物体在不同高度处所受地球引力并不相等，随着物体高度的增加，地球引力将逐渐减弱。当物体与地球的距离趋于无穷大时，地球对它的引力也就趋于零，这时物体就脱离了地球的引力场。因此，物体由地球表面上升到无限远处克服地球引力所做的功为一定值。这一数值可用下面的方法进行推算。 如图所示，设物体m从地球E的引力场中从P0处移动到Pn处。因各处的引力不等，我们可把P0Pn的一段距离分成许多极小的等分Δx。P0、P1、P2、…… Pn和地球中心的距离分别为r0、r1、r2、…… rn；先求出每一等分中的平均引力，然后求出通过每一等分时物体克服地球引力所做的功，这些功的总和，就是物体从P0移动到Pn克服地球引力所做的功。如果物体依靠消耗自身的动能来完成它所需做的功，那么它从P0移动到Pn克服地球引力所做的功，就等于它动能的减少。 根据万有引力定律，如果用G表示万有引力恒量，M表示地球的质量。物体在P0处所受的引力为；物体在P1处所受的引力为 。 因为P0和P1相距极近，物体在P0、P1间所受万有引力的平均值可以近似地等于两处引力的比例中项，即： ； 同理，物体在P1、P2间所受的平均引力为； ………………………………………………………… 物体在Pn-1、Pn间所受的平均引力为。 物体从P0移动到P1的过程中克服万有引力所做的功为： W1 =（P0、P1间物体受到的平均引力）×（P0、P1间的距离） 即 ； 物体从P1移动到P2时克服万有引力所做的功为： ； ……………………………………………………… 同理，物体从Pn -1移动到Pn时克服万有引力做的功为： 把以上各式相加，得到物体从P0移动到Pn整个过程中克服万有引力所做的功为： W = W1 + W2 + …… Wn = 。 应该指出，物体从P0处移动到Pn处克服万有引力所做的功，在数值上就等于物体在P0和Pn两处物体与地球组成的系统的重力势能之差，它的值只与P0和Pn的位置有关，而与物体移动的路径无关。 如果物体在P0处的速度为v，它的动能就为，物体之所以能克服万有引力做功，正是因为它具有这些动能。由机械能守恒定律可知，如果只考虑克服地球引力做功，物体所具有的动能应满足下列条件： ， 即物体应具有的速度为： 。 在以上的推导过程中，我们没有考虑物体在运动过程中克服空气阻力做功，也没有考虑太阳及其它天体引力的影响。在实际情况下，要使物体从P0移动到Pn，所需的动能应更大些。 由以上推导得出的速度表达式可知，使物体从地球表面r = R处出发而脱离地球，即到达rn = ∞处，物体所具有的速度即为第二宇宙速度，所以第二宇宙速度为： 。 E P1 P2 P3 P4 Pn –1Pn r0 r1 r2 r3 rn –1 rn △X △X △X △X