浅谈圆锥曲线离心率的求法.doc

浅谈圆锥曲线离心率的求法 ????????????????????????????????????????????????????? 离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是刻画圆锥曲线形态特征的基本量。我们知道椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。因此，求椭圆、双曲线的离心率就成了历年高考的热点。在此结合高考题，介绍求圆锥曲线的离心率的几种常用方法，以便学生能更好地理解和掌握解此类题的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力。 一、求椭圆和双曲线的离心率e（e= EQ \F(c,a)）的值； 1. 直接根据条件分别求出a、c，再求解e. 例1、(2007安徽文卷)椭圆x2+4y2=1的离心率为（ ????） （A） ??? ????（B）??? ??? （C） ???????（D）?? 分析：本题整理出椭圆的标准方程后可直接求出a，c，再利用离心率公式来求解。 解：由??x2+4y2=1,得a2=1，b2=，从而c2=，故a=1,c=,e= EQ \F(c,a)=，故选A。 例2、(2013陕西文卷)双曲线的离心率为 . 解： 【点评】此类题比较简单，属于最基础题型。 2.根据条件得出关于a、b、c间的一个齐次等式，再求e= EQ \F(c,a). （1）条件直接给出等式求e. 例3、(2007全国文卷)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） （A）（B）（C）（D） 分析：求离心率e关键是将a、b间等式转化为a、c间等式。 解：∵2a=2(2b),∴a=2b,又∵在椭圆中a2=b2+c2,∴c2=a2.∴e2=( EQ \F(c,a))2=.∴e=.故 选D. 【点评】此题属于基础题型，考查椭圆中a、b、c间关系式及其求离心率e. （2）在焦点三角形中得出a、b、c间的一个齐次等式，求e. 例4、(2008陕西文理卷)双曲线=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离线率为( ) （A）（B）（C）（D） 分析: 求离心率e关键是找a、b、c间一个等式。 解:在直角三角形MF2F1中，角MF1F2等于30°，|F1F2|=2c,∴|MF2|=2ctan30°=c, |MF1|=2|MF2|=c,又由双曲线定义知道右支上点M满足|MF1|-|MF2|=2a,∴c=2a,∴e=.故选B. 例5、(2013全国新课标Ⅱ卷)、设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D） 解：因为,所以。又，所以，即椭圆的离心率为，选D. 【点评】在焦点三角形中，常根据条件将三边用c表示出来，再根据圆锥曲线定义找出a、c间等式求出e。 二、求椭圆和双曲线离心率e的取值范围。 求解此类题关键是找出关于a、b、c间的一个齐次不等式，从而求出离心率e的取值范围。 例6、（2008福建文理卷）双曲线=1(a0,b0)的两个焦点分别是F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ） （A）(1,3)（B）(1,3]（C）（3，+∞）（D）[3,+∞) 分析：求离心率e的取值范围关键是找a、b、c间一个不等式。 解：∵|PF1|=2|PF2|，又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a, 又∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|(利用三角形三边之间关系找出不等式)，∴6a≥2c,∴e≤3, 又∵双曲线e1,∴1e≤3.故选B. 【点评】在焦点三角形中，求离心率e的取值范围常利用三角形三边之间关系找出不等式.