導数的几何意义.pptVIP

1．1.3　导数的几何意义 ;; 理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程．;; 本节重点：导数的几何意义及曲线的切线方程． 本节难点：求曲线在某点处的切线方程． ;;复习;复习:导数的概念;由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:;下面来看导数的几何意义: ;P; 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.;;1．导数的几何意义 ①割线斜率与切线斜率;;2．函数的导数 当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′ ＝ . ;; [例1]　求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． [分析]　求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再代入变量求导数值，上一节已经学过第一种方法．现在我们用第二种方法求解．;; 已知函数y＝f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.;; (1)点P处的切线的斜率； (2)点P处的切线方程． [分析]　求函数f(x)图象上点P处的切线方程的步骤：先求出函数在点(x0，y0)处的导数f′(x0)(即过点P的切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程．;;; [点评]　一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，点P(x0，y0)是曲线C上的定点，点Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是C上与P邻近的点，有y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx)， Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，;;;; [例3]　在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)倾斜角为135°. [分析]　解此类题的步骤为：①先设切点坐标(x0，y0)；②求导函数f′(x)；③求切线的斜率f′(x0)；④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；⑤由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．;;[点评]　此类题的易错之处是将切点的横坐标代入导函数来求切点坐标．; 直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切． (1)求a的值； (2)求切点的坐标．;;;;;一、选择题 1．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是(　　) A．－4　 　　B．0　 　　C．4　 　　D．不存在 [答案]　B;2．曲线y＝x3在点P处的??线斜率为3，则点P的坐标为 (　　) A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1) [答案]　B;;[答案]　B;二、填空题 4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有___________是它的切线，而__________不是它的切线． [答案]　y轴　x轴 [解析]　如图所示，可知y轴是它的切线，而x轴不是它的切线．; [答案]　k [解析]　由导数的几何意义知，曲线y＝f(x)在x0处的切线斜率即为函数y＝f(x)在x＝x0时的导数．;三、解答题 6．求曲线y＝x2在x＝1处的切线方程． [解析]　由y＝x2得 Δy＝(x＋Δx)2－x2＝2x·Δx＋(Δx)2， 即f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2×1＝2. 曲线y＝x2在x＝1处切线的斜率为2， 又x＝1时，y＝x2＝1， 切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.;作业: