方陣的特征值与特征向量.pptVIP

§2 矩阵的特征值与特征向量;引言;一、基本概念;一、基本概念;特征方程;二、基本性质;例4：求矩阵 的特征值和特征向量． 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 3，l2 =l3 = 1。;例4：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l1 = 3 时， 对应的特征向量应满足(A-3E)X=0, 由 解得基础解系 ．;例4：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l2 = l3 =1时， 对应的特征向量应满足(A-3E)X=0 由 解得基础解系 ．;例5：求矩阵 的特征值和特征向量． 解： 所以 A 的特征值为 l1 = ?7，l2 = l3 = 2 ．;例5：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l1 = ?1 时，因为 解方程组 (A + 7E)X = 0． 解得基础解系 ．;例5：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为 解方程组 (A?2E) X = 0． 解得基础解系 ． k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量．;二、基本性质;例：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A?1 的特征值． 结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p ． lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 当 A 可逆时，1/l 是 A?1 的特征值，对应的特征向量仍然是 p ．;二、基本性质;例6：设3 阶方阵 A 的特征值为1, ?1, 2，求 A* +3A?2E 的特征值． 解： A* +3A?2E = |A| A?1 +3A?2E = ?2A?1 +3A?2E = j (A) 其中|A| = 1×(?1) ×2 = ?2 ． 设 l 是 A 的一个特征值， p 是对应的特征向量．令 则 从而 的特征值为 ，即;定理：设 l1, l2, …, lm 是方阵 A 的特征值， p1, p2, …, pm 依 次是与之对应的特征向量，如果l1, l2, …, lm 各不相同，则 p1, p2, …, pm 线性无关． 例：设 l1 和 l2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征 向量依次为 p1 和 p2， 证明 p1 + p2不是 A 的特征向量．; 作 业