斐波那契數列与黄金分割.pptVIP

第三节 斐波那契数列与黄金分割;我们先来做一个游戏！;十秒钟加数;十秒钟加数;这与“斐波那契数列”有关; 一、兔子问题和斐波那契数列;兔子问题;解答;解答;解答;解答;解答;解答;解答;解答; 兔子问题的另外一种提法： 第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？ 月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子144+89=233对。 ; 2． 斐波那契数列 1） 公式 用 表示第 个月大兔子的对数，则有二阶递推公式 ; 2） 斐波那契数列 令n = 1, 2, 3,… 依次写出数列，就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，144，233，377，… 这就是斐波那契数列。其中的任一个 数，都叫斐波那契数。 ; [思]：请构造一个3阶递推公式。 ; 二、 相关的问题; 1． 跳格游戏 ; 如图，一个人站在“梯子格”的起点处向上跳，从格外只能进入第1格，从格中，每次可向上跳一格或两格，问：可以用多少种方法，跳到第n格？ 解：设跳到第n格的方法有 种。 由于他跳入第1格，只有一种方法；跳入第2格，必须先跳入第1格，所以也只有一种方法，从而 ; 而能一次跳入第n格的，只有第 和第 两格，因此，跳入第 格的方法 数，是跳入第 格的方法数 ，加上跳入 第 格的方法数 之和。 即 。综合得递推公式 容易算出，跳格数列 就是斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，…; 2． 连分数 这不是一个普通的分数，而是一个分 母上有无穷多个“1”的繁分数，我们通常 称这样的分数为“连分数”。; 上述连分数可以看作是 中，把 的表达式反复代入等号右端得到的；例如，第一次代入得到的是 反复迭代，就得到上述连分数。; 上述这一全部由1构成的连分数，是最简单的一个连分数。; 通常，求连分数的值，如同求无理数的值一样，我们常常需要求它的近似值。 如果把该连分数从第 条分数线截住，即把第 条分数线上、下的部分都删去，就得到该连分数的第 次近似值，记作 。; 对照 可算得 ; 发现规律后可以改一种方法算， 例如 顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为 ; 3． 黄金矩形 1） 定义：一个矩形，如果从中裁去 一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长 之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与 原矩形相似），则称具有这种宽与长之比 的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述 方法无限地分割下去。;; 2） 试求黄金矩形的宽与长之比（也称为黄金比） 解：设黄金比为 ，则有 将 变形为 ，解 得 ，其正根为 。 ; 3） 与斐波那契数列的联系 为讨论黄金矩形与斐波那契数列的联系，我们 把黄金比化为连分数，去求黄金比的近似