讲：角函数的图象和性质.docVIP

PAGE  PAGE 7 第六讲 三角函数的图象和性质 一、引言 （一）本节的地位：三角函数知识是高中教学的重要知识之一，三角函数的图象和性质是三角函数部分的重要内容，也是历年高考必考查的内容，体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求． （二）考纲要求：通过本节的学习能画出，，的图象，了解三角函数的周期性；借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与轴交点等）．本节重点：能够正确作出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，理解正弦函数、余弦函数，正切函数的性质（如单调性、最大和最小值、图象与轴交点、周期等）． （三）考情分析：主要考查作图能力、图象变换、三角函数的性质，如周期、单调区间、最大值最小值等知识．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查． 二、考点梳理 1．“五点法”作正、余弦函数图象 在确定正弦函数在上的图象时，起关键作用的五个点是、、、、．在确定余弦函数在上的图象时，起关键作用的五个点是、、、、． 2．周期函数： 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫周期函数，非零常数叫做这个函数的周期，把所有的周期中存在的最小正数，叫做最小正周期． 3．五点法作的简图： 五点取法是设，由取0、、、、2来求相应的值及对应的值，再描点作图． 4．图象变换： (1)平移变换：左右平移：将函数的图象沿x轴方向平移个单位后得到函数的图象．当时向左，当时向右． 上下平移：将函数的图象沿y轴方向平移个单位后得到函数的图象．当时向上，当时向下． （2）伸缩变换： 横向伸缩（周期变换）：函数的图象，可以看作是把函数的图象上的点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到． 纵向伸缩（振幅变换）：函数的图象，可以看作是把函数的图象上的点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到． 5．研究的方法：换元法． 三、典型问题选讲 （一）与函数图象有关??问题 例1 已知函数=Acos()的图象如图所示，，则=（ ） A． B． C．－ D． 解析：由图象可得最小正周期为． 于是f(0)＝，注意到与关于对称． 所以＝－＝． 归纳小结：认真分析图形，抓住图形中的已知条件，利用图形的对称性、周期性求解． 例2（2009，浙江）已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）21世纪教育网 分析：可用排除法，对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于． 归纳小结：此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度． （二）图象变换 例3 若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 解析： ， 又．故选D． 归纳小结：图象的左右平移要在上作变换，两个角的函数值相等，那么这两个角不一定相等，注意它们的关系． 例4 已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为． （1）求的值； （2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间． 分析：先将化简，利用函数的性质求得的表达式达到化简求值的目的． 解：（1） ． 因为为偶函数，所以对，恒成立， 因此． 即 ， 整理得． 因为，且，所以． 又因为，故．所以． 由题意得，所以． 故．因此． （2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象． 所以． 当（）， 即（）时，单调递减， 因此的单调递减区间为（）． 归纳小结：由为偶函数，所以对，恒成立，建立三角函数关系求得的值，（2）也可化图象求单调区间． （三）与图象性质有关的问题 例5 已知函数，下面结论错误的是（ ） A．函数的最小正周期为2 B．函数在区间［0，］上是增函数 C．函数的图象关于直线＝0对称 D．函数是奇函数 解析：∵，∴A、B、C均正确，故错误的是D． 归纳小结：本题要认真审题，本题问的是结论错误的是哪个选项，能够用诱导公式将问题化简． 例6 如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为（ ） A． B． C． D． 分析：本小题考查三角函数的图象性质，熟悉三角函数图象的对称中心． 解：函数的图象关于点中心对称， ．由此易得．故选A． 归纳小结：熟练掌握三角函数的性质如：对称轴方程、对称中心等． 例7 已知函数（其中）的图象 x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，