北师大版数学必修21.3.1(30).doc

1.3.2　空间几何体的体积【课时目标】　1．了解柱、锥、台、球的体积公式．2．会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题． 1．柱体、锥体、台体的体积 柱体：V＝______，V圆柱＝________． 锥体：V＝________，V圆锥＝________． 台体：V＝____________， V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)． 其中S、S′为底面面积，h为高，r、r′为底面半径． 2．球的表面积和体积 S球＝________，V球＝__________ 其中R是球的半径． 一、填空题 1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的________倍． 2．正方体的内切球和外接球的体积之比为__________． 3．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________． 4．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为________． 5．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)． 则该几何体的体积为________m3． 6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为________． 7．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是________． 8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是______cm3． 9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm． 二、解答题 10．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 11．已知正三棱锥V—ABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积与体积． 能力提升 12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度． 13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算． 3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 V柱体＝ShV台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh． 4．“割补”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清割补前后几何体体积之间的数量关系．1．3．2　空间几何体的体积知识梳理 1．Sh　πr2h　Sh　πr2h　(S′＋＋S)h 2．4πR2　πR3 作业设计 1．2 解析　由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍，则体积扩大到原来的2倍． 2．1∶3 解析　关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于a． 两球体积之比为a3：(a)3＝1∶3． 3．50π 解析　外接球的直径2R＝长方体的体对角线 ＝(a、b、c分别是长、宽、高)． 4．4∶9 解析　设球半径为r，圆锥的高为h， 则π(3r)2h＝πr3，可得h∶r＝4∶9． 5．4 解析　由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为V＝××3×4×2＝4 m3． 6． 解析　连结正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为a的正四棱锥组成，正四棱锥的高为，则八面体的体积为V＝2××(a)2·＝． 7．48 解析　由πR3＝，得R＝2． ∴正三棱柱的高h＝4． 设其底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4． ∴V＝(4)2·4＝48． 8．144 解析　此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V正四棱台＝(82＋42＋)×3＝112，V正四棱柱＝4×4×2＝32，故V＝112＋32＝144． 9．4 解析　设球的半径为r cm，则πr2×8＋πr3×3 ＝πr2×6r．解得r＝4． 10．解　截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF－A1B1C1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得． 设棱柱的底面积为S，高为h，则△AEF的面积为S，由于V1＝VAEF－A1B1C1＝·h·(＋S＋)＝hS，剩余的不规则几何体的体积为V2＝V－V1＝hS－hS＝hS，所以两部分的体积之比为V1∶V2＝7∶5． 11．解　 由