北师大版数学必修21.3.1(21).doc

2.1.2　直线的方程 第1课时　直线的点斜式方程 明目标、知重点　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题． 直线的点斜式方程和斜截式方程 类别点斜式斜截式适用范围斜率存在已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y轴上的截距b图示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. [情境导学]　给出一定点P0和斜率k，直线就可以唯一确定了．如果设点P(x，y)是直线上的任意一点，那么，如何建立P和P0点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题． 探究点一　直线的点斜式方程 思考1　求直线的方程指的是求什么？ 答　就是求直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式． 思考2　如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，怎样建立x，y之间的关系？ 答　由斜率公式得k＝eq \f(y－y0,x－x0)，即y－y0＝k(x－x0)． 思考3　过点P0(x0，y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足思考2中得出的方程吗？为什么？ 答　其坐标都满足方程y－y0＝k(x－x0)；由思考2中的推导过程可知． 思考4　坐标满足方程y－y0＝k(x－x0)的点都在过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线上吗？为什么？ 答　都在．这是因为若点P1(x1，y1)的坐标x1，y1满足方程y－y0＝k(x－x0)，即y1－y0＝k(x1－x0)，若x1＝x0，则y1－y0＝0，即y1＝y0，说明点P1与P0重合，于是可得点P1在直线l上；若x1≠x0，则k＝eq \f(y1－y0,x1－x0)，这说明过点P1和P0的直线的斜率为k，于是可得点P1在过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线上． 小结　由上述思考2和思考3的讨论可知，方程y－y0＝k(x－x0)就是过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 思考5　如何求x轴所在的直线方程？如何求出经过点P0(x0，y0)且平行于x轴的直线方程？ 答　由于x轴过坐标原点(0,0)，且倾斜角为0°，即k???tan 0°＝0，将点(0,0)及k＝0代入直线的点斜式得y＝0；因所求直线l平行于x轴，所以k＝tan 0°＝0，将(x0，y0)及k＝0代入直线的点斜式得y－y0＝0，即y＝y0. 思考6　y轴所在的直线方程是什么？如何求过点P0(x0，y0)且平行于y轴的直线方程？ 答　y轴所在的直线方程为x＝0；由于直线l平行于y轴，所以直线l斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0，即x＝x0. 例1　直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 解　直线l经过点P0(－2,3)，斜率是k＝tan 45°＝1， 代入点斜式方程得y－3＝x＋2. 画图时，只需再找出直线l上另一点P1(x1，y1)，例如，取x1＝－1，y1＝4，得P1的坐标为(－1,4)，过P0，P1的直线即为所求，如图： 反思与感悟　由点斜式写直线方程时，由于过P0(x0，y0)的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜率存在时方程为y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在时，直线方程为x＝x0. 跟踪训练1　一条直线经过点P(－2,3)，斜率为2，求这条直线的方程． 解　∵直线经过点P(－2,3)，且斜率为2，代入点斜式，得：y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0. 探究点二　直线的斜截式方程 思考1　已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？ 答　将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b. 小结　我们称b为直线l在y轴上的截距．方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以这个方程也叫做直线的斜截式方程． 思考2　直线y＝kx＋b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？ 答　不是直线与y轴交点到原点的距离，是直线y＝kx＋b与y轴交点的纵坐标，截距b的取值范围是R. 思考3　一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？ 答　一次函数的x的系数k≠0，否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程y＝kx＋b中的k，可以为0. 例2　求过点(0,1)，斜率为－eq \f(1,2)的直线的方程． 解　直线过点(0,1)，表明直线在y轴上的截距为1，又直线斜