北师大版数学必修21.3.1(31).doc

第2课时　直线的两点式方程 明目标、知重点　1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标． 直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2) A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0) 方程 ＝ ＋＝1 [情境导学]　已知直线上一点的坐标和直线的斜率我们能用直线的点斜式表示直线的方程；已知直线的斜率及直线在y轴上的截距能用直线的斜截式表示直线的方程，那么，如果已知直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，是否存在直线的某种形式的方程直接表示出直线的方程呢？ 探究点一　直线的两点式方程 问题　已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程？ 思考1　经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？ 答　利用直线的点斜式方程，将数据代入就能求出直线的方程． 思考2　能不能把上述问题转化成已经解决的问题？怎样转化？ 答　由于x1≠x2，所求直线的斜率k＝.取P1(x1，y1)和k，由点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)， 由y1≠y2，方程两边同除以y2－y1，得＝. 小结　经过直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程＝叫做直线的两点式方程，简称两点式． 思考3　从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？ 答　两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程． 例1　已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程． 解　将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得＝，即＋＝1. 反思与感悟　我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程＋＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程． 跟踪训练1　三角形的顶点是A(－4,0)，B(3，－3)，C(0,3)，求这个三角形三边所在的直线的方程． 解　∵直线AB过A(－4,0)，B(3，－3)两点，由两点式得＝， 整理得3x＋7y＋12＝0， ∴直线AB的方程为3x＋7y＋12＝0. ∵直线AC过A(－4,0)和C(0,3)两点， 由两点式得＝，整理得3x－4y＋12＝0. ∴直线AC的方程为3x－4y＋12＝0. ∵直线BC过B(3，－3)和C(0,3)两点， 由两点式得＝. 整理，得2x＋y－3＝0， ∴直线BC的方程为2x＋y－3＝0. 探究点二　直线的截距式方程 例2　已知直线l经过点(3,4)，且在两轴上的截距相等，求直线l的方程． 解　方法一　设所求直线方程为y－4＝k(x－3)． 令x＝0，得y＝4－3k；令y＝0，得x＝3－. ∵直线在两轴上的截距相等，∴4－3k＝3－. ∴k＝或k＝－1. ∴所求直线为y－4＝(x－3)或y－4＝－(x－3)， 即4x－3y＝0或x＋y－7＝0. 方法二　当直线过原点时，它在两轴上的截距都为0， ∴直线方程为y＝x，即4x－3y＝0， 当直线不过原点时，设方程为＋＝1， ∵a＝b，且＋＝1，∴a＝b＝7. 此时直线为＋＝1，即x＋y－7＝0. 综上，所求直线为4x－3y＝0或x＋y－7＝0. 反思与感悟　(1)求直线在坐标轴上的截距的方法是：令x＝0，所得y值是y轴上的截距；令y＝0，所得x值是x轴上的截距． (2)由于直线的截距式方程不表示过原点的直线，因此方法二首先考虑过原点的特殊情况，截距为0的直线很容易被遗忘，应引起重视． 跟踪训练 求过点(4，－3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程． 解　设直线l在x轴和y轴上的截距分别为a，b， 则直线过两点A(a,0)和B(0，b)． (1)当a≠0且b≠0时， 由截距式求得直线l的方程为＋＝1. ∵直线l过点(4，－3)，∴－＝1，① 又|a|＝|b|，② 由①②联立，得方程组 由此解得或 故直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0. (2)当a＝b＝0时，直线l过原点O(0,0)和点(4，－3)， 由两点式得直线l的方程为3x＋4y＝0. 综上可知，直线l的方程为 x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 探究点三　直线方程的综合问题 例3　已知直线l方程为＋＝1. (1)若直线l斜率等于2，求m的值； (2)若直线l在x轴与y轴上的截距相等，求m的值； (3)若直线l与两坐标轴正半轴围成的三角形面积最大，求此时直线l的方程． 解　(1)由题意，得＝2，解得m＝－4. (2)由题意，得m＝4－m，解得m