讲：角函数的化简求值.docVIP

PAGE  PAGE 6 第五讲 三角函数的化简求值 一、引言 （一）本节的地位：三角函数知识是高中教学的重要知识之一，体现考纲对运算能力、逻辑推理能力的要求，在历年的高考中，是必考查的内容之一．三角函数化简求值是高考的重要内容之一，应熟练掌握． （二）考纲要求：通过本节的学习要理解任意角三角函数的概念、会将任意角的正弦值、余弦值、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来、根据三角函数的定义或三角函数线判断三角函数值在各个象限的符号、理解终边相同角的三角函数值相同的含义，掌握同角三角函数关系及诱导公式，并能够应用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等变形．本节重点：理解任意角三角函数的概念、掌握同角三角函数关系及诱导公式，并能够应用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等变形． （三）考情分析：一般一个大题一个或两个小题，类型有化简求值、恒等变形、图象性质等．主要考查数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想． 二、考点梳理 1．任意角的三角函数定义 （1）利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么叫做的正弦，记做，即 ；叫做的余弦，记做，；叫做的正切，记为， （2）三角函数值的符号规律：正弦：一、二象限正，三、四象限负；余弦：一、四象限正，二、三象限负；正切：一、三象限正，二、四象限负． 2．同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：； （2）商的关系：． 3．诱导公式： 公式一：；；． 公式二：；；． 公式三：；；． 公式四：；； 公式五：；． 公式六：；． 记忆诱导公式的常用口诀是：奇变偶不变，符号看象限，其中“奇、偶”是指中的奇偶性；“符号”是把任意角看成锐角时原函数值的符号． 三、典型问题选讲 （一）考查三角函数定义 例1 角α的终边经过点P(1，－2)，则的值是 ． 分析：本题可由三角函数的定义求得的值是－2． （二）知值求值 例2 已知，则（ ） A. B. C. D. 分析：由，可求得、的值，或利用进行求解． ???： ＝＝． 所以选D． 归纳小结：本题考查用三角函数同角关系化简求值，注意的运用． 例3 若是第二象限角，且，求的值． 分析：利用诱导公式化简已知条件，再利用同角三角函数公式解决问题． 解：因为，所以． 又是第二象限角，所以 则=． 归纳小结：利用诱导公式化简求值，一般先将负角化为正角，然后再转化为锐角求值，运用公式时，要注意公式右边的符号 例4 已知．求的值． 分析：方法1将看成一个整体角，利用求解； 方法2是将展开，与联立求解． 解:解法1：因为，所以，于是 ， 解法2：由题设得，即． 解得， 因为，所以． 归纳小结：熟练掌握公式是解决三角函数问题的基础，如同角三角函数公式等，另外整体思想在解题中也常常用到． 例5（2009，广东）已知向量与互相垂直，其中 （1）求和的值， （2）若，，求的值． 分析：利用及三角函数公式求或的值． （１），，即． 又∵， ∴，即， ∴．又，． (2)∵， ，，即． 又，∴． 归纳小结：本题考查同角三角函数公式及两角差的余弦，注意角的范围． （三）知值求角 例6 已知求θ的值． 分析：本题考查应用诱导公式及因式分解知识． 解：由已知条件得 即． 解得． 由0＜θ＜，，从而或． 归纳小结：在求解过程中注意角的范围的讨论． 例7 已知， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求． 分析：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力． 解：（Ⅰ）由，得． ∴． （Ⅱ）由，得． 又∵，∴． 由得： ． 所以． 归纳小结：注意角的范围，范围定符号也定．熟练掌握公式，熟悉角的“配凑”使问题求解更简捷． （四）与其它知识综合 例8 已知为的最小正周期， ，且．求的值． 分析：利用求得关于三角函数的表达式，利用诱导公式、三角公式将所求化简得值． 解：因为为的最小正周期，故． 因，又． 故． 由于， 所以 ． 归纳小结：本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力． 例9 已知函数是关于对称的奇函数，若，，求的值． 分析：首先利用三角函数公式化简所求的式子，再由函数的奇偶性和周期性求解． 解：由得：，∴． 又∵， ∴∴． 由函数关于对称，得． 又由函数为奇函数， 得.∴． 归纳小结：本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，函数的性质等知识，是综合性比较强的题目． 四、本专题总结 本节课包含任意角的三角函数定义，同角三角函数的基本关系式，诱导公式等知识，主要研究化简、知非特殊角求值，知值求值，知值求角等问题，主要方法有：角的“配凑”，整体代入等方法，体现化归与转化思想、函数与方