证明：质量均匀分布的球壳对球内任点的引力为零.docVIP

质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零 晋江一中物理组 庄新恭 2013-6-5 A1 A1′ A1′′ A2 A2′ A2′′ P O Ω Ω θ θ r1 r2 证明如下： 如图，质量均匀分布的球壳（绿色部分）， 在其内部任放一质点P，过P作一条直线 A1A2′，以这条直线为母线，以很小的Ω 为立体角旋转一周得两圆锥。两圆锥截得 两块“球皮”A1A1′和A2A2′，现证明这 两块“球皮”对质点P的引力的合力为零。 首先，由于两块“球皮”很小，而且 立体角Ω很小（或者说圆锥的顶角很小）， 所以由图易知，P所受两“球皮”的引力 的方向必相反。故只须再证明P所受两 “球皮”的引力大小相等。为此—— 设P点所放质点的质量为m，两“球皮” 的面积分别为ΔS1和ΔS2，球壳的质量面密度为σ， 两“球皮”到P点的距离分别为r1和r2，由万有引力定律 可得P点所放质点m受到的两个引力大小分别为和 过P点沿两圆锥轴线作虚线（蓝色）分别交两“球皮”于A1′′和A2′′两点，这条直线与两半径的夹角均为θ（为什么），如图所示。现将ΔS1投影到与直线A1′′A2′′垂直的平面上，即投影到图中过A1点且与直线A1′′A2′′垂直的平面上。因立体角——圆锥顶角很小，所以投影平面面积与球冠面积相等。所以投影得到一球冠，面积为ΔS1·cosθ（为什么？自己想想！）。同样的，将ΔS2投影到过A2点的平面上，得到另一球冠，它的面积为ΔS2·cosθ。 根据球冠的面积公式可得与球冠对应（的圆锥的）立体角为。显然，这一立体角与球的半径R、球冠的高度h均无关，仅与圆锥的顶角的一半有关。对比平面弧度角与圆的半径无关，可以更好地加以理解。 万事具备，只欠—— 因为两个圆锥的顶角相等，从而两个立体角Ω相等，从而F1与F2大小相等。这样，我们就证明了两块“球皮”ΔS1和ΔS2对放在P点质点m的引力的合力为零； 而整个球壳可分解成这样一对对的“球皮”，每一对“球皮”对放在任意点P的质点的引力的合力均为零；所以，质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零！！ OK~~呼呼~~~ 附录：“球冠面积”与“立体角Ω”，将下图立体想象起来。。 h R α α 式中，R为球的半径，h为球冠的高度，α为??球冠对应的圆锥的半顶角。