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该文载于《中小学数学》小学版2008年第9期 正反比例问题解疑 宝鸡职业技术学院 李春甲（特级教师） 一．问题由来 最近，收到了一位老师的来信，内容是关于正反比例问题解法的疑问，原文如下。 有这样一道题：红旗小学准备用方砖铺走廊，如果用面积为9平方分米的方砖，需要960块，如果用面积为16平方分米的方砖，至少需要多少块？（用比例知识解答） 这道题应该列反比例方程，而作业中有的学生却列成正比例方程。对此，我们五六名数学老师争论不休，多数老师和我意见一致，认为只有前一种解法正确，尽管后式也能得到同样的答案。 到底应如何理解，敬请李老师多多指点！ 二．问题回复 ××同志，你好。对于你的疑惑，单纯就题论题不便解决根本问题，我想从以下几个方面给以答复。 1．同一比例可以有不同的表达式。如果，那么一定有（比例的基本性质）；反过来，如果，那么一定有。因此可以说，与是同一比例的两种不同表现形式。 2．正反比例关系的判断和表达。判断两个成比例的量的关系是正比例还是反比例，一般只需看其中的不变量是这两个变量的积还是商，而不是依据比例的外在表达形式。 例如，在你说的“铺地砖”问题中，方砖面积×块数=走廊面积（不变量），我们就说方砖面积与块数成反比例，其表达式可以是“甲砖面积×甲砖块数=乙砖面积×乙砖块数”，即，也可以是“”，即。尽管后者是商相等的形式，但它反映的还是方砖面积与相应块数这两个量的积不变（而非这两个量的商不变）这一基本关系。需要指出的是，写成前一种形式比较直观易懂。因此现行教材在列反比例关系式时，一般采用积相等的形式。 同样，正比例关系也可通过两种形式表达。例如下题：“一台拖拉机6小时耕地45公倾，照这样计算，耕地75公倾需要多少小时？”此题中拖拉机的工作效率不变，即工作量与时间的商不变。设耕75公倾地需要x小时，则，或写成。但写成商相等的形式比较直观易懂。 3．关于比例的“性别”。一个比例式，如果其中只含有一个未知数（或不含未知数），那么它反映的是关于哪两个量的正比例或者???比例，取决于这个比例式的实际意义。例如对于，我们可以编出下面两道应用题：⑴心脏30秒钟跳动了35次，照这样计算，1分钟跳动多少次？⑵某人加工一批零件，如果每天加工60个，35天可完成；如果要求30天完成，每天必须加工多少个？同一比例式，在前一题中，它反映的是心跳次数与时间之间的正比例关系。而在后一题中，它反映的是工作效率与时间之间的反比例关系。 4．同一比例问题可以有“性别”不同的两种解法。（k为不变量）又可表示为。这说明，如果x与y成正（反）比例，那么x与成反（正）比例，正反比例在一定的条件下可以互相转化。因此，同一比例问题可以有“正”与“反”两种不同的解法。例如对于前面的题⑵，深入思考会发现，题中的不变量（零件总数）可以用工作效率（个/天）与时间（天数）的积表示（一般列式为），也可以用时间（天数）与加工每个零件所用时间（天/个）的商来表示，这样，原题又可转化为正比例问题，列式为。 不知以上答复能否完全解决你的疑问，能否加深你对正反比例概念的理解？欢迎进一步探讨。