课时双曲线方程及性质的应用.docVIP

PAGE  PAGE 5 第2章 2.2.2 第2课时 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知椭圆eq \f(x2,3m2)＋eq \f(y2,5n2)＝1和双曲线eq \f(x2,2m2)－eq \f(y2,3n2)＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(　　) A．x＝±eq \f(\r(15),2)y　　　　　　　　 B．y＝±eq \f(\r(15),2)x C．x＝±eq \f(\r(3),4)y D．y＝±eq \f(\r(3),4)x 解析：　由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，且椭圆焦点为(±eq \r(3m2－5n2)，0)，双曲线焦点为(±eq \r(2m2＋3n2)，0)，故3m2－5n2＝2m2＋3n2. 于是m2＝8n2，又双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(6)·|n|,2|m|)x， 由m2＝8n2，得|m|＝2eq \r(2)|n|，得y＝±eq \f(\r(3),4)x. 答案：　D 2．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是(　　) 解析：　ax－y＋b＝0可化为y＝ax＋b， bx2＋ay2＝ab可化为eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1. 若ab0，则A中曲线错误，B中曲线不存在． 若ab0，则D中曲线错误，故选C. 答案：　C 3．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为(　　) A.eq \r(6) B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.eq \f(\r(3),3) 解析：　|MF2|＝|F1F2|tan 30°＝eq \f(2\r(3),3)c， 又|MF2|＝eq \f(b2,a)，∴eq \f(b2,a)＝eq \f(2\r(3),3)c， 两边同除以a得e2－1＝eq \f(2\r(3),3)e， 即3e2－2eq \r(3)e－3＝0. 又e＞1，∴e＝eq \r(3). 故选B. 答案：　B 4．已知双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,b2)＝1(b0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(eq \r(3)，y0)在双曲线上，则eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PF2,\s\up6(→))＝(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．4 解析：　由渐近线方程为y＝x知双曲线是等轴双曲线， ∴双曲线方程是x2－y2＝2，于是两焦点坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P(eq \r(3)，1)或P(eq \r(3)，－1)． 不妨设P(eq \r(3)，1)，则eq \o(PF1,\s\up6(→))＝(－2－eq \r(3)，－1)． eq \o(PF2,\s\up6(→))＝(2－eq \r(3)，－1)， ∴eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PF2,\s\up6(→))＝(－2－eq \r(3)，－1)·(2－eq \r(3)，－1) ＝－(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＋1＝0. 答案：　C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a0，b0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________． 解析：　∵∠AOB＝120°?∠AOF＝60°?∠AFO＝30°?c＝2a，∴e＝eq \f(c,a)＝2. 答案：　2 6．已知双曲线eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________． 解析：　由题意知F(4,0)， 双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，－eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \f(\r(3),3). 答案：　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－