谈集合交并计数公式的妙用.docVIP

PAGE  PAGE 2 谈集合交并计数公式的妙用 山东 李锦昱 集合的运算中交并公式（以下简称为公式）被形象地称为集合运算中的“多退少补”.公式所蕴含的数学思想方法是同学们学习中要学会的，同时该公式有许多妙用，请看下面两例. 例1 为了保证出版物的质量，出版社经常由两人进行独立校对同一校样，如果甲发现120处错误，乙发现110处错误，其中有92处错误是共同的，能否据此估计出校样中有多少处错误？他们两人可能遗漏了多少处错误？ 解 设共有处错误，则甲发现错误的概率（即校对能力）是.但对于乙发现的110处错误，甲发现了92处，故甲的校对能力又可以表示为，显然=，解之得.又假设两人遗漏了处错误，由集合交并公式可得，解之得.虽然两人校对能力比较强，仍然有5处错误“幸运”地成为“漏网之鱼”！ 当前各编辑部的人手普遍较少，编辑又大多身兼数职，出现错误的确难免！当然，老编们最大的愿望是奉献出精品刊物的同时，把出错率降到最低限度！请你也理解老编的难处！ 例2 （2004年重庆卷文科第12题改编）棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体表面积（含孔内各面）与体积分别是（） A．258、125 B．234、106 C．222、101 D．210、95 前后 左右 上下 重庆卷文科试题韦恩图 解 用集合运算的观点可以通过韦恩图虚拟出正方形孔的特征，然后将其作为集合中元素作定性分析，可得去掉的小孔从上下、左右、前后看各 有10个，但上下与左右、上下与前后、左右与前后都有2 个公共的小孔，其表面积计算应为：正方体表面有 个，从上下、左右、前后看各有 个，其表面积为， 选C.当然问题还可以理解为：该有孔正方体表面积 （含孔内各面）应该是：.其中的含义分别为正方体的表面积、加6个“通孔”的内壁面积、减正方体表面的12个小正方形面积、再减“通孔”中6个交叉部分的小正方体的表面积，因此选C.再从体积方面分析：若没有孔的话，体积应该为， 现在前后、左右、上下有6个“通孔”，每一个体积为， 其体积为，但任意一个“通孔”与另外两个“通孔”有交叉部 分，这样???有6个交叉部分，所以剩余几何体的体积为 . 这种理解是不是体现了集合运算中的“多退少补”的思想呢？